4. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6 và M là trung điểm của CD. Tính tích AB.AM

Question

leminhann · Accepted Answer

Vì M là trung điểm của CD nên $\displaystyle \overrightarrow{AM} \ =\ \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} \ +\ \overrightarrow{AD})$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AM} \ =\ \frac{1}{2} .\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AC} \ +\ \overrightarrow{AD})\
=\ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} \ +\ \frac{1}{2} .\overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AD}
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AC} \ =\ |\overrightarrow{AB} |.|\overrightarrow{AC} |.\cos(\overrightarrow{AB} ,\ \overrightarrow{AC}) \ =\ 6.6.\cos 60^{0} \ =\ 18$
$\displaystyle \overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AD} \ =\ |\overrightarrow{AB} |.|\overrightarrow{AD} |.\cos(\overrightarrow{AB} ,\ \overrightarrow{AD}) \ =\ 6.6.\cos 60^{0} \ =\ 18$
Do đó, $\displaystyle \overrightarrow{AB} .\overrightarrow{AM} \ =\ \frac{1}{2}( 2.18) \ =\ 18$

Timi · Answer

Để tính tích $AB \cdot AM$ của tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng 6 và $M$ là trung điểm của $CD$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm độ dài đoạn thẳng $AM$:
   - Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng 6.
   - $M$ là trung điểm của $CD$, do đó $CM = MD = \frac{CD}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
   - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng đi qua hai đỉnh khác trong tứ diện đều. Độ dài $AM$ có thể tính bằng cách sử dụng tính chất hình học của tứ diện đều.

2. Áp dụng công thức tính khoảng cách trong tứ diện đều:
   - Trong tứ diện đều, khoảng cách từ một đỉnh đến đường thẳng đi qua hai đỉnh khác có thể tính bằng công thức:
     $$
     AM = \sqrt{\frac{3}{4}} \times a
     $$
     Trong đó $a$ là độ dài cạnh của tứ diện đều.
   - Thay $a = 6$ vào công thức:
     $$
     AM = \sqrt{\frac{3}{4}} \times 6 = \sqrt{\frac{3}{4}} \times 6 = \sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3}
     $$

3. Tính tích $AB \cdot AM$:
   - $AB = 6$ (vì $ABCD$ là tứ diện đều).
   - $AM = 3\sqrt{3}$.
   - Tích $AB \cdot AM$ là:
     $$
     AB \cdot AM = 6 \times 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}
     $$

Vậy, tích $AB \cdot AM$ là $18\sqrt{3}$.

Sky Cir · Answer

{"userId": 5322377, "userName": "0339497050 "}Ta có tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 6. M là trung điểm CD. Cần tính AB.AM.

Vì ABCD là tứ diện đều, cạnh bằng 6 nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 6.

M là trung điểm CD nên CM = MD = CD/2 = 6/2 = 3.

Xét tam giác ACD cân tại A (do AC = AD = 6), có AM là trung tuyến ứng với cạnh CD nên AM cũng là đường cao.

Theo định lý Pytago trong tam giác vuông ACM, ta có:
AM^2 = AC^2 - CM^2
AM^2 = 6^2 - 3^2
AM^2 = 36 - 9
AM^2 = 27
AM = 3\sqrt{3}

Vậy AB.AM = 6 . 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.

Vậy tích AB.AM = 18\sqrt{3}