giải bài toán Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham,số m để hàm số $y=\frac{1-m}3x^3-$,$2(2-m)x^2+2(2-m)x+5$ luôn,nghịch biến trên tập xác định?

Question

Vũ Thanh Huyền · Accepted Answer

$\displaystyle y\ =\ \frac{1\ -\ m}{3} x^{3} \ -\ 2( 2\ -\ m) x^{2} \ +\ 2( 2\ -\ m) x\ +\ 5$
⟹ $\displaystyle y'\ =\ ( 1\ -\ m) x^{2} \ -\ 4( 2\ -\ m) x\ +\ 2( 2\ -\ m)$
Để hàm số nghịch biến trên $\displaystyle R$ thì $\displaystyle y'\ \leqslant \ 0\ \forall \ x\in \ R$
TH1: $\displaystyle 1\ -\ m\ =\ 0\ \Leftrightarrow \ m\ =\ 1$ ⟹ $\displaystyle y'\ =\ -4x\ +\ 2$ (không thoả mãn)
TH2: $\displaystyle 1\ -\ m\ eq \ 0\ \Leftrightarrow \ m\ eq \ 1$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
y'\ \leqslant \ 0\ \forall \ x\in \ R\
\Leftrightarrow \ \begin{cases}
1\ -\ m\ < \ 0\
\vartriangle '\ =\ 4( 2\ -\ m)^{2} \ -\ 2( 2\ -\ m)( 1\ -\ m) \ \leqslant \ 0
\end{cases}\
\Leftrightarrow \ \ \begin{cases}
m\ >\ 1\
2( 2\ -\ m)[ 2( 2\ -\ m) \ -\ ( 1\ -\ m)] \ \leqslant \ 0
\end{cases}\
\Leftrightarrow \ \begin{cases}
m\ >\ 1\
2( 2\ -\ m)( 3\ -\ m) \ \leqslant \ 0
\end{cases}\
\Leftrightarrow \ \begin{cases}
m\ >\ 1\
2\ \leqslant \ m\ \leqslant \ 3
\end{cases}\
\Leftrightarrow \ 2\ \leqslant \ m\ \leqslant \ 3
\end{array}$
$\displaystyle m\ \in \ Z$ nên $\displaystyle m\ =\ \{2;\ 3\}$

Timi · Answer

Để hàm số $y=\frac{1-m}{3}x^3 - 2(2-m)x^2 + 2(2-m)x + 5$ luôn nghịch biến trên tập xác định, ta cần tìm điều kiện của tham số $ m $ sao cho đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. $$ y' = \left(\frac{1-m}{3}x^3 - 2(2-m)x^2 + 2(2-m)x + 5\right)' $$ $$ y' = (1-m)x^2 - 4(2-m)x + 2(2-m) $$ Bước 2: Để hàm số luôn nghịch biến, đạo hàm phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: $$ (1-m)x^2 - 4(2-m)x + 2(2-m) \leq 0 $$ Bước 3: Xét dấu của hệ số $ a = 1 - m $: - Nếu $ a > 0 $ (tức là $ m < 1 $), hàm số bậc hai $ y' $ sẽ mở rộng ra hai phía và không thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. - Nếu $ a < 0 $ (tức là $ m > 1 $), hàm số bậc hai $ y' $ sẽ mở hẹp vào giữa và có thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 nếu nó không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Bước 4: Xét trường hợp $ a < 0 $ (tức là $ m > 1 $): - Để $ y' \leq 0 $ luôn đúng, phương trình $ (1-m)x^2 - 4(2-m)x + 2(2-m) = 0 $ phải không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép. Điều này xảy ra khi biệt thức $ \Delta \leq 0 $. Bước 5: Tính biệt thức $ \Delta $: $$ \Delta = (-4(2-m))^2 - 4(1-m)(2(2-m)) $$ $$ \Delta = 16(2-m)^2 - 8(1-m)(2-m) $$ $$ \Delta = 16(4 - 4m + m^2) - 8(2 - 2m - 2m + m^2) $$ $$ \Delta = 64 - 64m + 16m^2 - 16 + 16m - 8m^2 $$ $$ \Delta = 8m^2 - 48m + 48 $$ Bước 6: Đặt $ \Delta \leq 0 $: $$ 8m^2 - 48m + 48 \leq 0 $$ $$ m^2 - 6m + 6 \leq 0 $$ Bước 7: Giải bất phương trình $ m^2 - 6m + 6 \leq 0 $: - Tìm nghiệm của phương trình $ m^2 - 6m + 6 = 0 $: $$ m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $$ - Vậy nghiệm của bất phương trình là: $$ 3 - \sqrt{3} \leq m \leq 3 + \sqrt{3} $$ Bước 8: Kết hợp điều kiện $ m > 1 $: $$ 1 < m \leq 3 + \sqrt{3} $$ Bước 9: Tìm các giá trị nguyên của $ m $ trong khoảng này: $$ 1 < m \leq 3 + \sqrt{3} \approx 4.732 $$ Vậy các giá trị nguyên của $ m $ là: $ m = 2, 3, 4 $ Kết luận: Có 3 giá trị nguyên của tham số $ m $ để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.