giúp mik vs chị em ơii

Câu 38. Dãy số được xác định bởi $u_1 = -4$ và $u_n = -\frac{1}{2} u_{n-1}$, $n \geq 2$. Ta sẽ tìm số hạng tổng quát $u_n$ của dãy số này. Bước 1: Xác định quy luật của dãy số. - $u_1 = -4$ - $u_2 = -\frac{1}{2} u_1 = -\frac{1}{2} \times (-4) = 2$ - $u_3 = -\frac{1}{2} u_2 = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$ - $u_4 = -\frac{1}{2} u_3 = -\frac{1}{2} \times (-1) = \frac{1}{2}$ Bước 2: Nhận thấy rằng mỗi số hạng sau là $\left(-\frac{1}{2}\right)$ nhân với số hạng trước đó. Do đó, ta có thể viết số hạng tổng quát dưới dạng: \[ u_n = u_1 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] Bước 3: Thay giá trị của $u_1$ vào: \[ u_n = -4 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: \[ u_n = -4 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] Đáp án đúng là: D. $u_n = -4 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$. Câu 39. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $q=-2$. Ta cần tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Áp dụng công thức trên để tính $S_{10}$: \[ S_{10} = -3 \cdot \frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)} \] Tính $(-2)^{10}$: \[ (-2)^{10} = 1024 \] Thay vào công thức: \[ S_{10} = -3 \cdot \frac{1 - 1024}{1 + 2} \] \[ S_{10} = -3 \cdot \frac{-1023}{3} \] \[ S_{10} = -3 \cdot (-341) \] \[ S_{10} = 1023 \] Vậy đáp án đúng là: D. $S_{10} = 1023$. Câu 40. Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu tiên là $a_1 = 1$ và công bội là $q = 4$. Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân là: \[ S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ S_n = \frac{1(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4^n - 1}{3} \] Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C. \quad S_n = \frac{4^n - 1}{3} \] Câu 41. Để tính tổng \( S \) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số của cấp số nhân. - Số hạng đầu tiên \( a = \frac{1}{4} \). - Công bội \( q = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \). Bước 2: Xác định số hạng cuối cùng và số lượng các số hạng trong dãy. - Số hạng cuối cùng \( l = 2048 \). - Ta có công thức số hạng thứ \( n \) của cấp số nhân: \( a_n = a \cdot q^{n-1} \). - Thay vào ta có: \( 2048 = \frac{1}{4} \cdot 2^{n-1} \). - Nhân cả hai vế với 4 để đơn giản hóa: \( 8192 = 2^{n-1} \). - Ta nhận thấy rằng \( 8192 = 2^{13} \), do đó \( n - 1 = 13 \) suy ra \( n = 14 \). Bước 3: Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân. - Công thức tổng của cấp số nhân: \( S = a \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \). - Thay các giá trị vào công thức: \( S = \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{14} - 1}{2 - 1} \). - Tính \( 2^{14} = 16384 \), do đó \( S = \frac{1}{4} \cdot \frac{16384 - 1}{1} = \frac{1}{4} \cdot 16383 = 4095,75 \). Vậy tổng \( S \) của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho là \( 4095,75 \). Đáp án đúng là: C. \( S = 4095,75 \). Câu 42. Để tính tổng \( S = -2 + 4 - 8 + 16 - 32 + 64 - \ldots + (-2)^{n-1} + (-2)^n \) với \( n \geq 1, n \in \mathbb{N} \), ta nhận thấy đây là dãy số có dạng tổng của một cấp số nhân lùi với công bội \( q = -2 \). Cấp số nhân lùi có dạng \( a, aq, aq^2, \ldots, aq^{n-1}, aq^n \). Trong đó, \( a = -2 \) và \( q = -2 \). Công thức tính tổng của \( n \) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi là: \[ S_n = a \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ S = -2 \frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} \] \[ S = -2 \frac{1 - (-2)^n}{1 + 2} \] \[ S = -2 \frac{1 - (-2)^n}{3} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( S = -2 \frac{1 - (-2)^n}{3} \) Đáp số: \( S = -2 \frac{1 - (-2)^n}{3} \) Câu 43. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-6$ và $q=-2$. Ta cần tìm số hạng $n$ sao cho tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân này bằng 2046. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Thay $u_1 = -6$, $q = -2$ vào công thức trên: \[ S_n = -6 \cdot \frac{1 - (-2)^n}{1 - (-2)} \] \[ S_n = -6 \cdot \frac{1 - (-2)^n}{3} \] \[ S_n = -2 \cdot (1 - (-2)^n) \] Theo đề bài, tổng này bằng 2046: \[ -2 \cdot (1 - (-2)^n) = 2046 \] \[ 1 - (-2)^n = -1023 \] \[ (-2)^n = 1024 \] Ta nhận thấy rằng $1024 = 2^{10}$, do đó: \[ (-2)^n = 2^{10} \] Điều này chỉ đúng nếu $n = 10$ vì $(-2)^{10} = 2^{10}$. Vậy đáp án đúng là: B. $n = 10$. Câu 44. Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) với \( u_2 = -6 \) và \( u_6 = -486 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định công thức chung của cấp số nhân: \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \) 2. Áp dụng vào các điều kiện đã cho: - \( u_2 = u_1 \cdot q = -6 \) - \( u_6 = u_1 \cdot q^5 = -486 \) 3. Tìm \( q \): Ta có: \[ \frac{u_6}{u_2} = \frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q} = q^4 \] Thay các giá trị: \[ \frac{-486}{-6} = q^4 \implies 81 = q^4 \] 4. Giải phương trình \( q^4 = 81 \): \[ q^4 = 81 \implies q = \pm 3 \] 5. Xác định dấu của \( q \): Ta biết \( u_3 > 0 \). Ta tính \( u_3 \): \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 \] Vì \( u_2 = u_1 \cdot q = -6 \), suy ra \( u_1 = \frac{-6}{q} \). Thay vào \( u_3 \): \[ u_3 = \left( \frac{-6}{q} \right) \cdot q^2 = -6 \cdot q \] Để \( u_3 > 0 \), ta cần: \[ -6 \cdot q > 0 \implies q < 0 \] 6. Kết luận: Do \( q < 0 \), ta chọn \( q = -3 \). Vậy đáp án đúng là: A. \( q = -3 \). Câu 45. Trước tiên, ta cần tìm công bội của cấp số nhân. Ta biết rằng số hạng thứ hai ($u_2$) bằng 4 và số hạng thứ sáu ($u_6$) bằng 64. Công bội của cấp số nhân là $q$. Ta có: \[ u_2 = a \cdot q = 4 \] \[ u_6 = a \cdot q^5 = 64 \] Chia $u_6$ cho $u_2$, ta được: \[ \frac{u_6}{u_2} = \frac{a \cdot q^5}{a \cdot q} = q^4 = \frac{64}{4} = 16 \] Từ đó suy ra: \[ q^4 = 16 \] \[ q = 2 \text{ hoặc } q = -2 \] Ta sẽ xét từng trường hợp: 1. Nếu $q = 2$: \[ u_2 = a \cdot 2 = 4 \] \[ a = 2 \] Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[ u_n = a \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n \] 2. Nếu $q = -2$: \[ u_2 = a \cdot (-2) = 4 \] \[ a = -2 \] Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[ u_n = a \cdot q^{n-1} = -2 \cdot (-2)^{n-1} \] Nhưng trong các đáp án đã cho, chỉ có đáp án B đúng là $u_n = 2^n$. Vậy đáp án đúng là: B. $u_n = 2^n$ Câu 46. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho liên quan đến cấp số nhân $(u_n)$ có công bội $q$. Chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$ - Đây là công thức chung của một số hạng trong cấp số nhân. Nếu $(u_n)$ là cấp số nhân với công bội $q$, thì số hạng thứ $k$ của dãy số này sẽ là $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$. Mệnh đề này đúng. B. $u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ - Đây là công thức của số hạng trung gian trong một cấp số cộng, không phải cấp số nhân. Trong cấp số nhân, số hạng giữa không phải là trung bình cộng của hai số hạng liền kề. Mệnh đề này sai. C. $S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9$ - Đây là tổng của một dãy số cụ thể, không liên quan trực tiếp đến công thức của cấp số nhân. Mệnh đề này không liên quan đến câu hỏi về cấp số nhân. D. $S = \frac{10^n - 1}{9}$ - Đây là công thức tính tổng của dãy số 9, 99, 999, ..., 999...9. Tuy nhiên, nó không liên quan trực tiếp đến công thức của cấp số nhân. Mệnh đề này không liên quan đến câu hỏi về cấp số nhân. Kết luận: Mệnh đề đúng là A. $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$. Đáp án: A. $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$ Câu 47. Câu hỏi: Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 \neq 0$ và $q \neq 0.$ Với $1 < k < m,$ đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. $u_m = u_k.q^k.$ B. $u_m = u_k.q^m.$ C. $u_m = u_k.q^{m-k}.$ D. $u_m = u_k.q^{m+k}.$. Câu trả lời: Trong cấp số nhân $(u_n)$, mỗi số hạng được tính bằng công thức $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu tiên và $q$ là công bội. Ta xét hai số hạng $u_k$ và $u_m$ trong dãy số này: - Số hạng thứ $k$: $u_k = u_1 \cdot q^{k-1}$ - Số hạng thứ $m$: $u_m = u_1 \cdot q^{m-1}$ Bây giờ, ta sẽ biểu diễn $u_m$ theo $u_k$: \[ u_m = u_1 \cdot q^{m-1} \] \[ u_k = u_1 \cdot q^{k-1} \] Chia $u_m$ cho $u_k$, ta có: \[ \frac{u_m}{u_k} = \frac{u_1 \cdot q^{m-1}}{u_1 \cdot q^{k-1}} = q^{(m-1)-(k-1)} = q^{m-k} \] Nhân cả hai vế với $u_k$, ta được: \[ u_m = u_k \cdot q^{m-k} \] Vậy đẳng thức đúng là: C. $u_m = u_k \cdot q^{m-k}$ Đáp án: C. $u_m = u_k \cdot q^{m-k}$ Câu 48. Trong một cấp số nhân, tích của hai số hạng đối xứng so với trung điểm của dãy số là hằng số. Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức để tìm ra đẳng thức sai. A. \( u_1 \cdot u_{15} = u_2 \cdot u_{14} \) B. \( u_1 \cdot u_{15} = u_5 \cdot u_{11} \) C. \( u_1 \cdot u_{15} = u_6 \cdot u_9 \) D. \( u_1 \cdot u_{15} = u_{12} \cdot u_4 \) Ta biết rằng trong một cấp số nhân, tích của hai số hạng đối xứng so với trung điểm của dãy số là hằng số. Trung điểm của dãy số gồm 15 số hạng là số hạng thứ 8 (\(u_8\)). Do đó, ta có: - \( u_1 \cdot u_{15} = u_2 \cdot u_{14} = u_3 \cdot u_{13} = u_4 \cdot u_{12} = u_5 \cdot u_{11} = u_6 \cdot u_{10} = u_7 \cdot u_9 \) Như vậy, tất cả các cặp số hạng đối xứng đều có tích bằng nhau, ngoại trừ cặp \(u_{12}\) và \(u_4\). Vì \(u_{12}\) và \(u_4\) không đối xứng qua trung điểm \(u_8\), nên tích của chúng không bằng \(u_1 \cdot u_{15}\). Vậy đẳng thức sai là: D. \( u_1 \cdot u_{15} = u_{12} \cdot u_4 \) Đáp án: D. \( u_1 \cdot u_{15} = u_{12} \cdot u_4 \) Câu 49. Trong một cấp số nhân, tích của hai số hạng cách đều hai đầu dãy số là hằng số. Do đó, ta có: A. \( u_1 \cdot u_n = u_2 \cdot u_{n-1} \) B. \( u_1 \cdot u_n = u_5 \cdot u_{n-4} \) C. \( u_1 \cdot u_n = u_{55} \cdot u_{n-55} \) D. \( u_1 \cdot u_n = u_k \cdot u_{n-k+1} \) Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức: A. \( u_1 \cdot u_n = u_2 \cdot u_{n-1} \) - Đây là đúng vì \( u_2 \) và \( u_{n-1} \) cũng cách đều hai đầu dãy số. B. \( u_1 \cdot u_n = u_5 \cdot u_{n-4} \) - Đây là đúng vì \( u_5 \) và \( u_{n-4} \) cũng cách đều hai đầu dãy số. C. \( u_1 \cdot u_n = u_{55} \cdot u_{n-55} \) - Đây là đúng vì \( u_{55} \) và \( u_{n-55} \) cũng cách đều hai đầu dãy số. D. \( u_1 \cdot u_n = u_k \cdot u_{n-k+1} \) - Đây là sai vì \( u_k \) và \( u_{n-k+1} \) không cách đều hai đầu dãy số. Ví dụ, nếu \( k = 56 \), thì \( u_{56} \) và \( u_{n-55} \) không cách đều hai đầu dãy số. Vậy đáp án đúng là D. \( u_1 \cdot u_n = u_k \cdot u_{n-k+1} \) Câu 50. Ta có: $u_4-u_2=54$ $u_1\times q^3-u_1\times q=54$ $u_1\times q\times (q^2-1)=54$ (1) $u_5-u_3=108$ $u_1\times q^4-u_1\times q^2=108$ $u_1\times q^2\times (q^2-1)=108$ (2) Lấy (2) chia cho (1) ta được: $\frac{u_1\times q^2\times (q^2-1)}{u_1\times q\times (q^2-1)}=\frac{108}{54}$ $q=2$ Thay vào (1) ta được: $u_1\times 2\times (2^2-1)=54$ $u_1=9$ Vậy số hạng đầu là 9 và công bội là 2. Câu 51. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=1$ và $q=2$. Ta cần tìm số hạng thứ mấy là 1024. Công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Thay vào giá trị đã cho: \[ u_n = 1 \cdot 2^{n-1} \] \[ u_n = 2^{n-1} \] Ta cần tìm n sao cho $u_n = 1024$: \[ 2^{n-1} = 1024 \] Biết rằng $1024 = 2^{10}$, ta có: \[ 2^{n-1} = 2^{10} \] Do đó: \[ n - 1 = 10 \] \[ n = 11 \] Vậy số 1024 là số hạng thứ 11 của cấp số nhân. Đáp án đúng là: A. 11. Câu 52. Trước tiên, ta cần tìm công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$. Biết rằng $\frac{u_3}{u_8} = 243$, ta có thể viết lại như sau: \[ \frac{u_1 \cdot q^2}{u_1 \cdot q^7} = 243 \] \[ \frac{q^2}{q^7} = 243 \] \[ \frac{1}{q^5} = 243 \] \[ q^5 = \frac{1}{243} \] \[ q^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^5 \] \[ q = \frac{1}{3} \] Bây giờ, ta cần tìm $u_9$. Ta có: \[ u_9 = u_1 \cdot q^8 \] \[ u_9 = 12 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8 \] \[ u_9 = 12 \cdot \frac{1}{6561} \] \[ u_9 = \frac{12}{6561} \] \[ u_9 = \frac{4}{2187} \] Vậy $u_9 = \frac{4}{2187}$.