xác định vị trí khối tâm của nửa mặt cầu bán kính R, đồng chất

ChatGPT đã nói:
ChatGPT
Để xác định vị trí khối tâm của nửa mặt cầu bán kính 
𝑅
R, đồng chất, bạn có thể làm theo các bước sau:

Hệ tọa độ:

Đặt nửa mặt cầu trong hệ tọa độ 3 chiều với tâm của mặt cầu ở gốc tọa độ 
(
0
,
0
,
0
)
(0,0,0) và nửa mặt cầu nằm ở phía trên, tức là 
𝑧
≥
0
z≥0.
Công thức tính khối tâm:

Khối tâm 
(
𝑥
ˉ
,
𝑦
ˉ
,
𝑧
ˉ
)
( 
x
ˉ
, 
y
ˉ
​
, 
z
ˉ
) của một vật thể đồng chất có thể tính bằng công thức:
𝑥
ˉ
=
1
𝑉
∫
𝑉
𝑥
 
𝑑
𝑉
,
𝑦
ˉ
=
1
𝑉
∫
𝑉
𝑦
 
𝑑
𝑉
,
𝑧
ˉ
=
1
𝑉
∫
𝑉
𝑧
 
𝑑
𝑉
x
ˉ
= 
V
1
​
∫ 
V
​
xdV, 
y
ˉ
​
= 
V
1
​
∫ 
V
​
ydV, 
z
ˉ
= 
V
1
​
∫ 
V
​
zdV
Trong đó 
𝑉
V là thể tích của nửa mặt cầu.
Tính thể tích của nửa mặt cầu:

Thể tích của nửa mặt cầu có công thức:
𝑉
=
2
3
𝜋
𝑅
3
V= 
3
2
​
πR 
3

Tính các tọa độ khối tâm:

Do tính đối xứng của nửa mặt cầu quanh trục 
𝑧
z, ta có: 
𝑥
ˉ
=
0
x
ˉ
=0 và 
𝑦
ˉ
=
0
y
ˉ
​
=0.
Tính 
𝑧
ˉ
z
ˉ
:
𝑧
ˉ
=
1
𝑉
∫
𝑉
𝑧
 
𝑑
𝑉
z
ˉ
= 
V
1
​
∫ 
V
​
zdV
Sử dụng tọa độ hình cầu để tính tích phân:
𝑧
=
𝑟
cos
⁡
𝜃
,
𝑑
𝑉
=
𝑟
2
sin
⁡
𝜃
 
𝑑
𝑟
 
𝑑
𝜃
 
𝑑
𝜙
z=rcosθ,dV=r 
2
sinθdrdθdϕ
Tích phân sẽ có dạng:
𝑧
ˉ
=
1
𝑉
∫
0
𝑅
∫
0
𝜋
∫
0
2
𝜋
(
𝑟
cos
⁡
𝜃
)
(
𝑟
2
sin
⁡
𝜃
 
𝑑
𝑟
 
𝑑
𝜃
 
𝑑
𝜙
)
z
ˉ
= 
V
1
​
∫ 
0
R
​
∫ 
0
π
​
∫ 
0
2π
​
(rcosθ)(r 
2
sinθdrdθdϕ)
Giải tích phân:

Tích phân theo 
𝑟
r, 
𝜃
θ và 
𝜙
ϕ, bạn sẽ nhận được:
𝑧
ˉ
=
3
𝑅
8
z
ˉ
= 
8
3R
​

Kết luận:

Vị trí khối tâm của nửa mặt cầu bán kính 
𝑅
R là:
(
𝑥
ˉ
,
𝑦
ˉ
,
𝑧
ˉ
)
=
(
0
,
0
,
3
𝑅
8
)
( 
x
ˉ
, 
y
ˉ
​
, 
z
ˉ
)=(0,0, 
8
3R
​
)
Do đó, khối tâm của nửa mặt cầu đồng chất nằm trên trục 
𝑧
z, cách tâm mặt cầu một khoảng 
3
𝑅
8
8
3R
​
 về phía trên.