Giải giúp tôi

Câu 2. Gọi số máy móc công ty sử dụng là $x$ (máy). Điều kiện: $x > 0$ Thời gian để hoàn thành đơn đặt hàng là $\frac{8000}{30x} = \frac{800}{3x}$ (giờ) Chi phí thiết lập các máy móc là $200x$ (nghìn đồng) Chi phí trả cho người giám sát là $192 \times \frac{800}{3x} = \frac{51200}{x}$ (nghìn đồng) Tổng chi phí hoạt động là $f(x) = 200x + \frac{51200}{x}$ (nghìn đồng) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$, ta tính đạo hàm của $f(x)$: $f'(x) = 200 - \frac{51200}{x^2}$ Đặt $f'(x) = 0$, ta có: $200 - \frac{51200}{x^2} = 0$ $\frac{51200}{x^2} = 200$ $x^2 = \frac{51200}{200} = 256$ $x = 16$ (vì $x > 0$) Do đó, công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Câu 3. Để tìm số lượng vi khuẩn lớn nhất và thời điểm đạt số lượng lớn nhất, chúng ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số $N(t) = 1000 + \frac{100t}{100 + t^2}$. Bước 1: Tính đạo hàm của $N(t)$. \[ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( 1000 + \frac{100t}{100 + t^2} \right) \] \[ N'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{100t}{100 + t^2} \right) \] Áp dụng quy tắc thương: \[ N'(t) = \frac{(100)(100 + t^2) - (100t)(2t)}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 + 100t^2 - 200t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{10000 - 100t^2}{(100 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $N'(t) = 0$. \[ \frac{100(100 - t^2)}{(100 + t^2)^2} = 0 \] \[ 100 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 100 \] \[ t = 10 \quad \text{hoặc} \quad t = -10 \] Vì $t \geq 0$, ta chỉ xét $t = 10$. Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị. Ta kiểm tra đạo hàm hai bên điểm $t = 10$: - Khi $t < 10$, $100 - t^2 > 0$, do đó $N'(t) > 0$. - Khi $t > 10$, $100 - t^2 < 0$, do đó $N'(t) < 0$. Như vậy, $t = 10$ là điểm cực đại của hàm số $N(t)$. Bước 4: Tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm $t = 10$. \[ N(10) = 1000 + \frac{100 \cdot 10}{100 + 10^2} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{100 + 100} \] \[ N(10) = 1000 + \frac{1000}{200} \] \[ N(10) = 1000 + 5 \] \[ N(10) = 1005 \] Vậy số lượng vi khuẩn lớn nhất là 1005 con tại thời điểm $t = 10$ giây. Do đó, giá trị của $a + b$ là: \[ a + b = 1005 + 10 = 1015 \] Đáp số: $1015$. Câu 4. Giả sử xưởng sản xuất x(kg) thành phẩm trong một ngày, $0 \leq x \leq 20$. Doanh thu từ việc bán x(kg) thành phẩm trong một ngày là: $513x$ (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x(kg) thành phẩm trong một ngày là: $f(x) = 513x - C(x)$ (nghìn đồng). Ta có: $f(x) = 513x - (2x^3 - 30x^2 + 177x + 2592) = -2x^3 + 30x^2 + 336x - 2592$. $f'(x) = -6x^2 + 60x + 336$. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow -6x^2 + 60x + 336 = 0 \Leftrightarrow x = -4$ (loại) hoặc $x = 14$. Ta có: $f(0) = -2592$, $f(14) = 1088$, $f(20) = -1008$. Vậy $f(14)$ lớn nhất. Đáp số: 14 kg Câu 5. Để tìm giá trị \( x \) sao cho thể tích \( F \) của hình hộp chữ nhật lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật: - Chiều dài của hình hộp chữ nhật là \( 1,5 - 2x \). - Chiều rộng của hình hộp chữ nhật là \( 0,9 - 2x \). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \( x \). 2. Lập biểu thức thể tích \( F \): Thể tích \( F \) của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ F = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] Thay các giá trị đã xác định vào công thức trên, ta có: \[ F = (1,5 - 2x)(0,9 - 2x)x \] 3. Rút gọn biểu thức thể tích \( F \): Ta mở ngoặc và rút gọn biểu thức: \[ F = (1,5 - 2x)(0,9 - 2x)x \] \[ F = (1,5 \cdot 0,9 - 1,5 \cdot 2x - 2x \cdot 0,9 + 2x \cdot 2x)x \] \[ F = (1,35 - 3x - 1,8x + 4x^2)x \] \[ F = (1,35 - 4,8x + 4x^2)x \] \[ F = 1,35x - 4,8x^2 + 4x^3 \] 4. Tìm giá trị \( x \) để thể tích \( F \) lớn nhất: Để tìm giá trị \( x \) làm cho thể tích \( F \) lớn nhất, ta lấy đạo hàm của \( F \) theo \( x \) và đặt đạo hàm đó bằng 0. \[ F' = \frac{d}{dx}(1,35x - 4,8x^2 + 4x^3) \] \[ F' = 1,35 - 9,6x + 12x^2 \] Đặt \( F' = 0 \): \[ 1,35 - 9,6x + 12x^2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 12 \), \( b = -9,6 \), \( c = 1,35 \): \[ x = \frac{9,6 \pm \sqrt{(-9,6)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1,35}}{2 \cdot 12} \] \[ x = \frac{9,6 \pm \sqrt{92,16 - 64,8}}{24} \] \[ x = \frac{9,6 \pm \sqrt{27,36}}{24} \] \[ x = \frac{9,6 \pm 5,23}{24} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{9,6 + 5,23}{24} = \frac{14,83}{24} \approx 0,618 \] \[ x_2 = \frac{9,6 - 5,23}{24} = \frac{4,37}{24} \approx 0,182 \] Ta kiểm tra điều kiện \( 0 < x < 0,45 \) (vì chiều dài và chiều rộng phải lớn hơn 0): - \( x_1 = 0,618 \) không thỏa mãn vì \( 0,618 > 0,45 \). - \( x_2 = 0,182 \) thỏa mãn vì \( 0 < 0,182 < 0,45 \). Vậy giá trị \( x \) để thể tích \( F \) lớn nhất là \( x = 0,182 \). Đáp số: \( x = 0,182 \) Câu 6. Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tính hợp lực của hai lực đầu tiên: Gọi hai lực đầu tiên là $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$, với độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N, và góc giữa chúng là $100^\circ$. Ta sử dụng công thức tính độ lớn của hợp lực của hai vectơ: \[ F_{12} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos(\theta)} \] Trong đó: - \( F_1 = 25 \) N - \( F_2 = 12 \) N - \( \theta = 100^\circ \) Ta có: \[ F_{12} = \sqrt{25^2 + 12^2 + 2 \cdot 25 \cdot 12 \cdot \cos(100^\circ)} \] \[ F_{12} = \sqrt{625 + 144 + 2 \cdot 25 \cdot 12 \cdot (-0.1736)} \] \[ F_{12} = \sqrt{625 + 144 - 104.16} \] \[ F_{12} = \sqrt{664.84} \] \[ F_{12} \approx 25.78 \text{ N} \] 2. Tính hợp lực của ba lực: Gọi lực thứ ba là $\vec{F_3}$, với độ lớn là 4 N và vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đầu tiên. Ta sử dụng công thức tính độ lớn của hợp lực của ba vectơ: \[ F_{\text{hợp}} = \sqrt{F_{12}^2 + F_3^2} \] Trong đó: - \( F_{12} \approx 25.78 \) N - \( F_3 = 4 \) N Ta có: \[ F_{\text{hợp}} = \sqrt{25.78^2 + 4^2} \] \[ F_{\text{hợp}} = \sqrt{664.84 + 16} \] \[ F_{\text{hợp}} = \sqrt{680.84} \] \[ F_{\text{hợp}} \approx 26.1 \text{ N} \] Vậy độ lớn của hợp lực của ba lực trên là khoảng 26 N (làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng doanh thu \(T(x)\). 2. Xác định lợi nhuận \(L(x)\). 3. Tìm giá trị của \(x\) để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định tổng doanh thu \(T(x)\). Doanh thu từ việc bán \(x\) đôi giày là: \[ T(x) = 200x \] Bước 2: Xác định lợi nhuận \(L(x)\). Lợi nhuận \(L(x)\) là hiệu giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \[ L(x) = T(x) - C(x) \] \[ L(x) = 200x - (x^3 - 6x^2 - 88x + 592) \] \[ L(x) = 200x - x^3 + 6x^2 + 88x - 592 \] \[ L(x) = -x^3 + 6x^2 + 288x - 592 \] Bước 3: Tìm giá trị của \(x\) để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị của \(x\) mà tại đó lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần tính đạo hàm của \(L(x)\) và tìm điểm cực đại. \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 6x^2 + 288x - 592) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 12x + 288 \] Đặt \(L'(x) = 0\) để tìm các điểm cực trị: \[ -3x^2 + 12x + 288 = 0 \] \[ x^2 - 4x - 96 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{400}}{2} \] \[ x = \frac{4 \pm 20}{2} \] \[ x = 12 \text{ hoặc } x = -8 \] Vì \(x\) phải là số dương và nằm trong khoảng \(1 \leq x \leq 20\), ta chỉ xét \(x = 12\). Bây giờ, chúng ta kiểm tra giá trị của \(L(x)\) tại \(x = 12\): \[ L(12) = -(12)^3 + 6(12)^2 + 288(12) - 592 \] \[ L(12) = -1728 + 864 + 3456 - 592 \] \[ L(12) = 1980 \] Vậy lợi nhuận tối đa thu được trong một ngày là 1980 nghìn đồng. Đáp án đúng là: d) Lợi nhuận tối đa thu được trong một ngày là 1980 nghìn đồng. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng thông tin từ đồ thị của đạo hàm \( f'(x) \) để suy ra tính chất của hàm số \( f(x) \). 1. Phân tích đồ thị đạo hàm \( f'(x) \): - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), \( f'(x) > 0 \), tức là \( f(x) \) tăng. - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), \( f'(x) < 0 \), tức là \( f(x) \) giảm. - Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), \( f'(x) < 0 \), tức là \( f(x) \) giảm. - Từ \( x = 3 \) đến \( x = 4 \), \( f'(x) > 0 \), tức là \( f(x) \) tăng. 2. Xác định các điểm cực trị: - \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = 1 \). - \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 2 \) và \( x = 3 \). 3. Xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\): - \( f(x) \) tăng từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), sau đó giảm từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), tiếp tục giảm từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), rồi tăng từ \( x = 3 \) đến \( x = 4 \). - Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) sẽ là giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 2 \) hoặc \( x = 3 \) (cả hai đều là cực tiểu). - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) sẽ là giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 1 \) (cực đại). 4. Kiểm tra điều kiện \( f(0) - f(2) = f(4) - f(3) \): - Vì \( f(x) \) giảm từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), nên \( f(2) > f(3) \). - Vì \( f(x) \) tăng từ \( x = 3 \) đến \( x = 4 \), nên \( f(4) > f(3) \). - Điều kiện \( f(0) - f(2) = f(4) - f(3) \) cho thấy rằng khoảng cách giữa \( f(0) \) và \( f(2) \) phải bằng khoảng cách giữa \( f(4) \) và \( f(3) \). 5. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) là \( f(3) \). - Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) là \( f(1) \). Do đó, giá trị nhỏ nhất \( m \) và giá trị lớn nhất \( M \) của \( f(x) \) trên đoạn \([0; 4]\) đạt được lần lượt tại \( x = 3 \) và \( x = 1 \). Đáp số: \( m = f(3) \) và \( M = f(1) \). Câu 3: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = S(t) \), ta cần tính giới hạn của \( S(t) \) khi \( t \) tiến đến vô cùng. Ta có: \[ S(t) = 200 \left( \frac{2}{3} - \frac{8}{2 + t} \right) \] Khi \( t \to +\infty \): \[ \frac{8}{2 + t} \to 0 \] Do đó: \[ S(t) \to 200 \left( \frac{2}{3} - 0 \right) = 200 \cdot \frac{2}{3} = \frac{400}{3} \] Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = \frac{400}{3} \). Trong đó, \( a = 400 \) và \( b = 3 \). Ta có \( (a, b) = 1 \). Tính \( P = a - 2b \): \[ P = 400 - 2 \cdot 3 = 400 - 6 = 394 \] Đáp số: \( P = 394 \) Câu 4: Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 3}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \left( \frac{2x^2 - 3x + 3}{x + 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x^2 - 3x + 3)'(x + 1) - (2x^2 - 3x + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(4x - 3)(x + 1) - (2x^2 - 3x + 3)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x - 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x - 6}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(x^2 + 2x - 3)}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{2(x^2 + 2x - 3)}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[ (x + 3)(x - 1) = 0 \] \[ x = -3 \text{ hoặc } x = 1 \] Bước 3: Tìm tọa độ của các điểm cực trị: - Khi \( x = -3 \): \[ y = \frac{2(-3)^2 - 3(-3) + 3}{-3 + 1} = \frac{18 + 9 + 3}{-2} = \frac{30}{-2} = -15 \] Điểm cực trị thứ nhất là \( (-3, -15) \). - Khi \( x = 1 \): \[ y = \frac{2(1)^2 - 3(1) + 3}{1 + 1} = \frac{2 - 3 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Điểm cực trị thứ hai là \( (1, 1) \). Bước 4: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \( (-3, -15) \) và \( (1, 1) \): - Tính hệ số góc \( a \): \[ a = \frac{1 - (-15)}{1 - (-3)} = \frac{1 + 15}{1 + 3} = \frac{16}{4} = 4 \] - Sử dụng công thức \( y = ax + b \) và thay vào một trong hai điểm để tìm \( b \): \[ 1 = 4(1) + b \] \[ 1 = 4 + b \] \[ b = 1 - 4 = -3 \] Vậy phương trình đường thẳng là \( y = 4x - 3 \). Bước 5: Tính \( a + b \): \[ a + b = 4 + (-3) = 1 \] Đáp số: \( a + b = 1 \). Câu 5: Gọi số phòng của khách sạn là x phòng và giá tiền ban đầu là y đồng. Theo đề bài, ta có: xy = (x - 2)(y + 50000) xy = xy + 50000x - 2y - 100000 50000x - 2y - 100000 = 0 2y = 50000x - 100000 y = 25000x - 50000 Ta thấy rằng giá tiền ban đầu phải là một số dương, do đó y > 0. 25000x - 50000 > 0 25000x > 50000 x > 2 Vì số phòng là một số nguyên dương, nên x phải lớn hơn 2. Ta thử các giá trị x từ 3 trở đi để tìm giá trị thỏa mãn. Nếu x = 3: y = 25000 3 - 50000 = 75000 - 50000 = 25000 Kiểm tra lại: 3 25000 = (3 - 2) (25000 + 50000) 75000 = 1 75000 75000 = 75000 (Thỏa mãn) Vậy giá tiền ban đầu là 25000 đồng một phòng. Đáp số: 25000 đồng một phòng.