Giải chi tiết ngày.,Một công ty sản xuất những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không có nắp đủ chứa được10 lít nước.,Hỏi bán kính đáy của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít nguyên vật liệu nhất. (kết quả,làm tròn đến hàng phần mười)

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa trong đại số, cụ thể là tìm giá trị cực tiểu của diện tích toàn phần của hình trụ không có nắp.

Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan
- Thể tích của xô: $ V = 10 \text{ lít} = 10 \text{ dm}^3 $
- Bán kính đáy của xô: $ r $
- Chiều cao của xô: $ h $

Bước 2: Biểu diễn thể tích và diện tích toàn phần
Thể tích của hình trụ là:
$$ V = \pi r^2 h $$
Diện tích toàn phần của hình trụ không có nắp là:
$$ S = \pi r^2 + 2\pi rh $$

Bước 3: Biểu diễn chiều cao $ h $ theo $ r $
Từ công thức thể tích:
$$ 10 = \pi r^2 h $$
$$ h = \frac{10}{\pi r^2} $$

Bước 4: Thay $ h $ vào công thức diện tích toàn phần
$$ S = \pi r^2 + 2\pi r \left( \frac{10}{\pi r^2} \right) $$
$$ S = \pi r^2 + \frac{20}{r} $$

Bước 5: Tìm giá trị cực tiểu của $ S $
Để tìm giá trị cực tiểu của $ S $, chúng ta tính đạo hàm của $ S $ theo $ r $:
$$ S&#x27; = 2\pi r - \frac{20}{r^2} $$

Đặt $ S&#x27; = 0 $:
$$ 2\pi r - \frac{20}{r^2} = 0 $$
$$ 2\pi r = \frac{20}{r^2} $$
$$ 2\pi r^3 = 20 $$
$$ r^3 = \frac{10}{\pi} $$
$$ r = \sqrt[3]{\frac{10}{\pi}} $$

Bước 6: Tính giá trị cụ thể của $ r $
$$ r \approx \sqrt[3]{\frac{10}{3.14}} \approx \sqrt[3]{3.1847} \approx 1.47 $$

Do đó, bán kính đáy của chiếc xô để tốn ít nguyên vật liệu nhất là khoảng 1.5 dm (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp số: $ r \approx 1.5 \text{ dm} $

亗 Ŕĭƞ Šķȳ 亗 · Answer

Gọi bán kính đáy của xô là r (m)
và chiều cao của xô là h
diện tích đáy là $\displaystyle S_{đáy} =\pi imes r^{2}$
diện tích xung quanh là $\displaystyle S_{xq} =2\pi rh$
do đó $\displaystyle S=S_{đáy} +S_{xq} =\pi r^{2} +2\pi rh$
theo bài ra ta có $\displaystyle V=\pi r^{2} h\ =10$
do đó $\displaystyle h=\frac{10}{\pi r^{2}}$
thay vào S ta được :
$\displaystyle S=\pi r^{2} +2\pi r.\frac{10}{\pi r^{2}} =\pi r^{2} +\frac{20}{r}$
ta cần min của hàm S(r)
ta Xét $\displaystyle S'\ =0$
suy ra $\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2\pi r-\frac{20}{r^{2}} =0\
hay\ \ 2\pi r\ =\ \frac{20}{r^{2}}
\end{array}$
$\displaystyle 2\pi r^{3} =20$
suy ra $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{10}{\pi }}$
lại có với$\displaystyle \ \ r=\sqrt[3]{\frac{10}{\pi }} \ thì\ S''\left(\sqrt[3]{\frac{10}{\pi }} ight) \ =6\pi \ >\ 0$ nên $\displaystyle r=\ \sqrt[3]{\frac{10}{\pi }}$ là cực tiểu của hàm S
Vậy để tốn ít nguyên liệu nhất thì bán kính đáy $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{10}{\pi }} \ \approx 1.48\ ( m) \ $