giải toán Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng,tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công,nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120,sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm,việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân,nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản,phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế,phẩm mỗi tuần ước tính là $P(x)=$,$\frac{95x^2+120x}4,$ với W là thời gian làm việc,trong một tuần (đơn vị: giờ). Nhà máy cần áp,dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số,lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Question

giải  toán Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng,tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công,nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120,sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm,việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân,nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản,phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế,phẩm mỗi tuần ước tính là $P(x)=$,$\frac{95x^2+120x}4,$ với W là thời gian làm việc,trong một tuần (đơn vị: giờ). Nhà máy cần áp,dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số,lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

Accepted Answer

Gọi số giờ làm việc trong một tuần là $x$ (giờ), $(40 \leq x \leq 60)$

Số công nhân đi làm việc là $100 - \frac{x - 40}{2} = 120 - \frac{x}{2}$ (công nhân)

Năng suất lao động là $120 - 5(x - 40) = 220 - 5x$ (sản phẩm/giờ)

Số sản phẩm thu được mỗi tuần là:

$f(x) = (120 - \frac{x}{2})(220 - 5x)x - (\frac{95x^2 + 120x}{4})$

$= -\frac{5}{4}x^3 + 140x^2 - 5400x - 30x$

$= -\frac{5}{4}x^3 + 140x^2 - 5430x$

$f'(x) = -\frac{15}{4}x^2 + 280x - 5430$

$f'(x) = 0$

$\Rightarrow x = 42$ hoặc $x = 78$ (loại)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy $f(x)$ đạt GTLN tại $x = 42$

Vậy để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất thì nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần là 42 giờ.