tìm giá trị nhỏ nhất M= x^2 -2x(y+1)+3y^2+2025

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2025 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \): \[ M = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2025 \] Bước 2: Ta nhận thấy rằng biểu thức \( x^2 - 2x(y + 1) \) có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh: \[ x^2 - 2x(y + 1) = (x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ M = (x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2 + 3y^2 + 2025 \] Bước 4: Ta tiếp tục nhóm các hạng tử liên quan đến \( y \): \[ M = (x - (y + 1))^2 + 2y^2 - 2y + 2025 \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng biểu thức \( 2y^2 - 2y \) cũng có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh: \[ 2y^2 - 2y = 2(y^2 - y) = 2\left( y^2 - y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2\left( (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) = 2(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} \] Bước 6: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ M = (x - (y + 1))^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 2025 \] \[ M = (x - (y + 1))^2 + 2(y - \frac{1}{2})^2 + 2024.5 \] Bước 7: Ta thấy rằng \( (x - (y + 1))^2 \geq 0 \) và \( 2(y - \frac{1}{2})^2 \geq 0 \) vì chúng là các bình phương. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ xảy ra khi cả hai bình phương này đều bằng 0: \[ (x - (y + 1))^2 = 0 \Rightarrow x = y + 1 \] \[ 2(y - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \] Bước 8: Thay \( y = \frac{1}{2} \) vào \( x = y + 1 \): \[ x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] Bước 9: Thay \( x = \frac{3}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \) vào biểu thức ban đầu: \[ M = (\frac{3}{2} - (\frac{1}{2} + 1))^2 + 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + 2024.5 \] \[ M = (\frac{3}{2} - \frac{3}{2})^2 + 2(0)^2 + 2024.5 \] \[ M = 0 + 0 + 2024.5 \] \[ M = 2024.5 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là \( 2024.5 \).