Cho tam giác ABC vuông tại A có AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D trên tia đối của tia AB, gọi N là hình chiếu của A trên CD. Chứng minh:
a, CN.CD = CA^2 và CN = CD.sin^2 D
b, Diện tích tam giác CHN = Diện tích tam giác CBD. cos^2 ACD. cos^2 ACB
Giúp mình với!

Hách Cơ · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A\ =\ \left(\frac{x+1}{3x^{2} +3x} \ +\ \frac{2x-1}{3x-6x^{2}} \ -1 ight) \ :\ \frac{1-x}{2x}\
A\ =\ \left(\frac{1}{3x} \ -\ \frac{1}{3x} -1 ight) \ :\ \frac{1-x}{2x}\
A\ =\ \frac{2x}{x-1}
\end{array}$

b) $\displaystyle a^{3} -3a^{2} b-2ab^{2} -8b^{3} =0$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Leftrightarrow \ a^{3} -4a^{2} b+a^{2} b-4ab^{2} +2ab^{2} -8b^{3} \ =0\
\Leftrightarrow \ a^{2} .( a-4b) \ +\ ab.( a-4b) \ +2b^{2} .( a-4b) \ =0\
\Leftrightarrow \ \left( a^{2} +ab+2b^{2} ight) .( a-4b) \ =0\ \
\Longrightarrow \ a\ =\ 4b
\end{array}$

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{ACN} = \widehat{ACD}$ (cùng bù với $\widehat{BCD}$)
$\widehat{CAN} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{NAD}$)
Suy ra $	riangle CAN \sim 	riangle CAD$ (g-g)
Suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{CA}{CD}$
Suy ra $CN.CD = CA^2$
Mặt khác, ta có $\widehat{ACN} = \widehat{ACD}$
$\widehat{CAN} = \widehat{CAD}$
Suy ra $	riangle CAN \sim 	riangle CAD$ (g-g)
Suy ra $\frac{CN}{CA} = \frac{CA}{CD}$
Suy ra $CN = CD.\left(\frac{CA}{CD}ight)^2 = CD.\sin^2 D$

b) Ta có diện tích tam giác $CHN = \frac{1}{2}.CN.CH.\sin \widehat{NCH}$
Diện tích tam giác $CBD = \frac{1}{2}.CD.CB.\sin \widehat{DCB}$
Ta có $\widehat{NCH} = \widehat{DCB}$ (cùng bằng $\widehat{ACB}$)
Suy ra $\frac{	ext{Diện tích tam giác } CHN}{	ext{Diện tích tam giác } CBD} = \frac{CN}{CB}.\frac{CH}{CD}$
Mà $CN = CD.\sin^2 D$ và $CH = CB.\cos \widehat{ACB}$
Suy ra $\frac{	ext{Diện tích tam giác } CHN}{	ext{Diện tích tam giác } CBD} = \frac{CD.\sin^2 D}{CB}.\frac{CB.\cos \widehat{ACB}}{CD} = \sin^2 D.\cos \widehat{ACB}$
Mặt khác, ta có $\widehat{ACD} = \widehat{ACB} + \widehat{BCD}$
Suy ra $\cos \widehat{ACD} = \cos (\widehat{ACB} + \widehat{BCD}) = \cos \widehat{ACB}.\cos \widehat{BCD} - \sin \widehat{ACB}.\sin \widehat{BCD}$
Mà $\widehat{BCD} = 90^\circ - \widehat{ACB}$ (vì $	riangle BCD$ vuông tại $C$)
Suy ra $\cos \widehat{BCD} = \sin \widehat{ACB}$ và $\sin \widehat{BCD} = \cos \widehat{ACB}$
Suy ra $\cos \widehat{ACD} = \cos \widehat{ACB}.\sin \widehat{ACB} - \sin \widehat{ACB}.\cos \widehat{ACB} = 0$
Suy ra $\cos^2 \widehat{ACD} = 0$
Suy ra $\frac{	ext{Diện tích tam giác } CHN}{	ext{Diện tích tam giác } CBD} = \sin^2 D.\cos \widehat{ACB} = \cos^2 \widehat{ACD}.\cos^2 \widehat{ACB}$
Suy ra diện tích tam giác $CHN = 	ext{Diện tích tam giác } CBD.\cos^2 \widehat{ACD}.\cos^2 \widehat{ACB}$

Đáp số: 
a) $CN.CD = CA^2$ và $CN = CD.\sin^2 D$
b) Diện tích tam giác $CHN = 	ext{Diện tích tam giác } CBD.\cos^2 \widehat{ACD}.\cos^2 \widehat{ACB}$

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D trên tia đối của tia AB, gọi N là hình chiếu của A trên CD. Chứng minh: a, CN.CD = CA^2 và CN = CD.sin^2 D b, Diện tích ta...