giúp mình với

Câu 3. Để kiểm tra xem mỗi cặp giá trị có phải là nghiệm của hệ bất phương trình hay không, ta thay từng cặp giá trị vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. a) Kiểm tra cặp giá trị $(-1, -1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-1 + 7 \times (-1) = -1 - 7 = -8$, mà $-8 > 4$ là sai. - Do đó, $(-1, -1)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. b) Kiểm tra cặp giá trị $(-2, 5)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-2 + 7 \times 5 = -2 + 35 = 33$, mà $33 > 4$ là đúng. - Thay vào bất phương trình thứ hai: $-2 < 5$ là đúng. - Thay vào bất phương trình thứ ba: $-(-2) - 5 = 2 - 5 = -3$, mà $-3 \geq -3$ là đúng. - Do đó, $(-2, 5)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. c) Kiểm tra cặp giá trị $(3, -1)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $3 + 7 \times (-1) = 3 - 7 = -4$, mà $-4 > 4$ là sai. - Do đó, $(3, -1)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. d) Kiểm tra cặp giá trị $(-1, 2)$: - Thay vào bất phương trình thứ nhất: $-1 + 7 \times 2 = -1 + 14 = 13$, mà $13 > 4$ là đúng. - Thay vào bất phương trình thứ hai: $-1 < 5$ là đúng. - Thay vào bất phương trình thứ ba: $-(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$, mà $-1 \geq -3$ là đúng. - Do đó, $(-1, 2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: a) $(-1, -1)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. b) $(-2, 5)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. c) $(3, -1)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. d) $(-1, 2)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. a) $\widehat{A} = 75^\circ$ Ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác là $180^\circ$. Do đó: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ \] \[ \widehat{A} + 45^\circ + 60^\circ = 180^\circ \] \[ \widehat{A} = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \] Vậy $\widehat{A} = 75^\circ$ là đúng. b) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ Theo Định lý sin, trong mọi tam giác, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó là hằng số. Do đó: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Vậy khẳng định này là đúng. c) $b = 5,26 \text{ cm}$ Áp dụng Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] \[ \frac{8}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \] Biết rằng $\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ \frac{32}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ b = \frac{32 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Rationalizing the denominator: \[ b = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ b = 4(\sqrt{12} - 2) = 4(2\sqrt{3} - 2) = 8\sqrt{3} - 8 \approx 8 \times 1.732 - 8 = 13.856 - 8 = 5.856 \text{ dm} \] Vậy $b \approx 5.856 \text{ dm}$, không phải $5.26 \text{ cm}$. d) $c \approx 3.17 \text{ cm}$ Áp dụng Định lý sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \] \[ \frac{8}{\sin 75^\circ} = \frac{c}{\sin 60^\circ} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ \frac{8}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ \frac{32}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] \[ c = \frac{32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Rationalizing the denominator: \[ c = \frac{16\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{16\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{16\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 4\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ c = 4(\sqrt{18} - \sqrt{6}) = 4(3\sqrt{2} - \sqrt{6}) \approx 4(3 \times 1.414 - 2.449) = 4(4.242 - 2.449) = 4 \times 1.793 = 7.172 \text{ dm} \] Vậy $c \approx 7.172 \text{ dm}$, không phải $3.17 \text{ cm}$. Đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Thí sinh trả lời đáp án từ a) và b). Câu 1. Mệnh đề a) Nếu số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. Mệnh đề đảo: Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số tự nhiên n có tổng các chữ số bằng 6. Lập luận: Mệnh đề đảo này là mệnh đề sai vì có nhiều số chia hết cho 3 nhưng tổng các chữ số không bằng 6. Ví dụ: 9 chia hết cho 3 nhưng tổng các chữ số của 9 là 9, không bằng 6. Mệnh đề b) Nếu $x > y$ thì $x^3 > y^3$. Mệnh đề đảo: Nếu $x^3 > y^3$ thì $x > y$. Lập luận: Mệnh đề đảo này là mệnh đề đúng vì nếu $x^3 > y^3$, ta có thể suy ra $x > y$. Kết luận: Có 1 mệnh đề đảo là mệnh đề sai. Đáp số: 1 mệnh đề đảo sai. Câu 2. Gọi số học sinh tham gia tiết mục hát là x (x là số tự nhiên) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là: 45 – 3 = 42 (học sinh) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai tiết mục là: 35 + x – 10 = 25 + x (học sinh) Ta có: 25 + x = 42 x = 42 – 25 x = 17 Vậy có 17 học sinh tham gia tiết mục hát. Câu 3. Điều kiện: $x \geqslant 0; y \geqslant 0$ Diện tích để kê bàn và ghế là $60 - 12 = 48~m^2$ Ta có: $0,5x + 1,2y \leqslant 48$ Thay $x = 20$ vào ta được: $10 + 1,2y \leqslant 48$ $1,2y \leqslant 38$ $y \leqslant 31,67$ Vậy số bàn tối đa là 31 chiếc. Câu 4. Để tìm giá trị lớn nhất của tham số \( m \) sao cho \( m \leq -x + y \) với mọi cặp số \( (x; y) \) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giải của hệ bất phương trình: Ta vẽ các đường thẳng tương ứng với các bất phương trình: - \( -2x + y = 2 \) - \( -x + 2y = 4 \) - \( x + y = 5 \) - \( y = 0 \) Các điểm giao của các đường thẳng này sẽ xác định các đỉnh của miền giải. 2. Tìm các đỉnh của miền giải: - Giao điểm của \( -2x + y = 2 \) và \( -x + 2y = 4 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -2x + y = 2 \\ -x + 2y = 4 \end{array} \right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 2 rồi trừ đi phương trình thứ hai: \[ (-4x + 2y) - (-x + 2y) = 4 - 4 \implies -3x = 0 \implies x = 0 \] Thay \( x = 0 \) vào \( -2x + y = 2 \): \[ y = 2 \] Vậy giao điểm là \( (0; 2) \). - Giao điểm của \( -2x + y = 2 \) và \( x + y = 5 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -2x + y = 2 \\ x + y = 5 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (x + y) - (-2x + y) = 5 - 2 \implies 3x = 3 \implies x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( x + y = 5 \): \[ y = 4 \] Vậy giao điểm là \( (1; 4) \). - Giao điểm của \( -x + 2y = 4 \) và \( x + y = 5 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -x + 2y = 4 \\ x + y = 5 \end{array} \right. \] Cộng hai phương trình: \[ (-x + 2y) + (x + y) = 4 + 5 \implies 3y = 9 \implies y = 3 \] Thay \( y = 3 \) vào \( x + y = 5 \): \[ x = 2 \] Vậy giao điểm là \( (2; 3) \). - Giao điểm của \( x + y = 5 \) và \( y = 0 \): \[ x + 0 = 5 \implies x = 5 \] Vậy giao điểm là \( (5; 0) \). - Giao điểm của \( -2x + y = 2 \) và \( y = 0 \): \[ -2x + 0 = 2 \implies x = -1 \] Vậy giao điểm là \( (-1; 0) \). 3. Kiểm tra các đỉnh trong miền giải: Các đỉnh của miền giải là \( (0; 2) \), \( (1; 4) \), \( (2; 3) \), \( (5; 0) \), và \( (-1; 0) \). 4. Tính giá trị của \( -x + y \) tại các đỉnh: - Tại \( (0; 2) \): \( -0 + 2 = 2 \) - Tại \( (1; 4) \): \( -1 + 4 = 3 \) - Tại \( (2; 3) \): \( -2 + 3 = 1 \) - Tại \( (5; 0) \): \( -5 + 0 = -5 \) - Tại \( (-1; 0) \): \( -(-1) + 0 = 1 \) Giá trị lớn nhất của \( -x + y \) là 3, đạt tại đỉnh \( (1; 4) \). 5. Kết luận: Giá trị lớn nhất của tham số \( m \) là 3. Đáp số: \( m = 3 \). Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tam giác ABC, tổng các góc nội tiếp là 180°, tức là: \[ A + B + C = 180^\circ \] Do đó, ta có: \[ B + C = 180^\circ - A \] Bây giờ, ta sẽ thay \( B + C \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \sin A \cdot \cos(180^\circ - A) + \cos A \cdot \sin(180^\circ - A) \] Ta biết rằng: \[ \cos(180^\circ - A) = -\cos A \] \[ \sin(180^\circ - A) = \sin A \] Thay các giá trị này vào biểu thức \( P \), ta có: \[ P = \sin A \cdot (-\cos A) + \cos A \cdot \sin A \] Rút gọn biểu thức: \[ P = -\sin A \cdot \cos A + \cos A \cdot \sin A \] Nhận thấy rằng hai hạng tử là đối nhau, do đó: \[ P = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = 0 \] Câu 6. Gọi khoảng cách từ mắt bạn A đến chiếc diều là $d_{A}$ và khoảng cách từ mắt bạn B đến chiếc diều là $d_{B}$. Ta có: $\tan \alpha = \frac{h + 1,5}{d_{A}}$ $\tan \beta = \frac{h + 1,5}{d_{B}}$ Từ đó suy ra: $d_{A} = \frac{h + 1,5}{\tan \alpha}$ $d_{B} = \frac{h + 1,5}{\tan \beta}$ Khoảng cách từ mắt bạn A đến mắt bạn B là: $d_{AB} = d_{B} - d_{A}$ Thay các giá trị đã biết vào, ta có: $d_{AB} = \frac{h + 1,5}{\tan \beta} - \frac{h + 1,5}{\tan \alpha}$ $d_{AB} = \frac{20 + 1,5}{\tan 75^{\circ}} - \frac{20 + 1,5}{\tan 35^{\circ}}$ $d_{AB} \approx 16,98$ (m) Chiếc diều bay cao so với mặt đất là: $h_{điều} = h + 1,5 + d_{AB} \cdot \sin \alpha$ $h_{điều} = 20 + 1,5 + 16,98 \cdot \sin 35^{\circ}$ $h_{điều} \approx 32$ (m) Đáp số: Chiếc diều bay cao khoảng 32 mét so với mặt đất.