.............

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$ có mẫu số là $1 - \sin^2 \alpha$. Để biểu thức có nghĩa, mẫu số phải khác 0. - Điều kiện xác định là: $1 - \sin^2 \alpha \neq 0$ - Điều này tương đương với: $\sin^2 \alpha \neq 1$ - Do đó, $\sin \alpha \neq \pm 1$ 2. Rút gọn biểu thức: - Ta nhận thấy rằng $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ (theo công thức Pythagoras: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) - Vì vậy, biểu thức $P$ có thể viết lại thành: \[ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] 3. Phân tích thêm: - Ta biết rằng $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$, do đó: \[ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} \] - Biểu thức này đã được rút gọn tối đa theo điều kiện xác định. 4. Kết luận: - Biểu thức $P$ đã được rút gọn thành $\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ hoặc $\frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha}$. - Điều kiện xác định là $\sin \alpha \neq \pm 1$. Vậy, biểu thức $P$ đã được giải và rút gọn như sau: \[ P = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \quad \text{với điều kiện} \quad \sin \alpha \neq \pm 1 \]