toán lớp 12

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích biểu thức đạo hàm \( f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 2)^3 \) để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \). Bước 1: Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định Biểu thức đạo hàm \( f'(x) = (x + 3)(x - 1)^2(x - 2)^3 \) bằng 0 khi: \[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ (x - 2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các điểm trên Chúng ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 1) \), \( (1, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trong khoảng \( (-\infty, -3) \): Chọn \( x = -4 \): \[ f'(-4) = (-4 + 3)(-4 - 1)^2(-4 - 2)^3 = (-1)(-5)^2(-6)^3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này, hàm số nghịch biến. - Trong khoảng \( (-3, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 + 3)(0 - 1)^2(0 - 2)^3 = 3 \cdot 1 \cdot (-8) < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này, hàm số nghịch biến. - Trong khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ f'(1.5) = (1.5 + 3)(1.5 - 1)^2(1.5 - 2)^3 = 4.5 \cdot 0.25 \cdot (-0.5)^3 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trong khoảng này, hàm số nghịch biến. - Trong khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3 + 3)(3 - 1)^2(3 - 2)^3 = 6 \cdot 4 \cdot 1 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trong khoảng này, hàm số đồng biến. Bước 3: Xác định các điểm cực trị - Tại \( x = -3 \): \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = -3 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) không thay đổi dấu (vì \( (x - 1)^2 \) luôn dương), do đó \( x = 1 \) không phải là điểm cực trị. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Kết luận a) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \). b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (-3, 1) \). c) Hàm số có điểm cực trị tại \( x = -3 \) và \( x = 2 \). d) Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -3 \) và \( x = 2 \). Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu một. a) (C) có tiệm cận đứng \( x = 2 \). Hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 2} \) có mẫu số là \( x - 2 \). Khi \( x = 2 \), mẫu số bằng 0, dẫn đến hàm số không xác định tại điểm này. Do đó, (C) có tiệm cận đứng \( x = 2 \). Phát biểu này đúng. b) (C) có tiệm cận xiên. Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức \( x^2 - 4x + 5 \) cho \( x - 2 \): \[ \begin{array}{r|rr} & x & -2 \\ \hline x - 2 & x^2 & -4x & +5 \\ & x^2 & -2x & \\ \hline & & -2x & +5 \\ & & -2x & +4 \\ \hline & & & 1 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là \( x - 2 + \frac{1}{x - 2} \). Do đó, hàm số có dạng: \[ f(x) = x - 2 + \frac{1}{x - 2} \] Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{1}{x - 2} \) sẽ tiến về 0, vậy tiệm cận xiên của hàm số là \( y = x - 2 \). Phát biểu này đúng. c) (C) có tâm đối xứng \( I(2;0) \). Để kiểm tra tâm đối xứng, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số \( f(x) \) khi thay \( x \) bằng \( 2 + t \) và \( 2 - t \): \[ f(2 + t) = \frac{(2 + t)^2 - 4(2 + t) + 5}{(2 + t) - 2} = \frac{4 + 4t + t^2 - 8 - 4t + 5}{t} = \frac{t^2 + 1}{t} = t + \frac{1}{t} \] \[ f(2 - t) = \frac{(2 - t)^2 - 4(2 - t) + 5}{(2 - t) - 2} = \frac{4 - 4t + t^2 - 8 + 4t + 5}{-t} = \frac{t^2 + 1}{-t} = -t - \frac{1}{t} \] Như vậy, \( f(2 + t) = -(f(2 - t)) \), hàm số có tâm đối xứng tại \( I(2;0) \). Phát biểu này đúng. d) (C) đi qua điểm \( I(0;5) \). Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \[ f(0) = \frac{0^2 - 4 \cdot 0 + 5}{0 - 2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2} \] Do đó, hàm số không đi qua điểm \( I(0;5) \). Phát biểu này sai. Kết luận: Các phát biểu đúng là a, b, c. Câu 3. a) Đúng vì tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb R\setminus\{-1\}.$ b) Sai vì $f'(x)=\frac{x^2+2x-2}{(x+1)^2}.$ Ta có $f'(x)< 0$ trên khoảng $(-1-\sqrt{3};-1)$ và $(-1;1-\sqrt{3}).$ Còn $f'(x)>0$ trên khoảng $(-\infty;-1-\sqrt{3})$ và $(1-\sqrt{3};+\infty).$ Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1-\sqrt{3};-1)$ và $(-1;1-\sqrt{3})$ và đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1-\sqrt{3})$ và $(1-\sqrt{3};+\infty).$ c) Đúng vì $\lim_{x\to +\infty}(f(x)-(x+2))=\lim_{x\to +\infty}\frac{1-x}{x+1}=0$ và $\lim_{x\to -\infty}(f(x)-(x+2))=\lim_{x\to -\infty}\frac{1-x}{x+1}=0.$ Vậy đường thẳng $y=x+2$ là đường tiệm cận xiên của (C). d) Đúng vì $y=\frac{x^2+3x+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)-1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}.$ Suy ra $y$ là số nguyên khi và chỉ khi $\frac{1}{x+1}$ là số nguyên. Vậy $x+1=\pm 1.$ Tức là $x=-2$ hoặc $x=0.$ Thay vào ta tìm được các điểm có tọa độ nguyên là $(-2;1)$ và $(0;1).$ Câu 4: Để giải quyết các phát biểu trên, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu dựa vào phương trình li độ $x(t) = -t^3 + 18t^2 + t + 3$. Phát biểu a) Li độ của chất điểm ở thời điểm $t = 4$ giây là 231 mét. Ta thay $t = 4$ vào phương trình li độ: \[ x(4) = -(4)^3 + 18(4)^2 + 4 + 3 \] \[ x(4) = -64 + 18 \cdot 16 + 4 + 3 \] \[ x(4) = -64 + 288 + 4 + 3 \] \[ x(4) = 231 \] Phát biểu này là đúng. Phát biểu b) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 5$ giây là $106 \text{ m/s}$. Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -3t^2 + 36t + 1 \] Thay $t = 5$ vào phương trình vận tốc: \[ v(5) = -3(5)^2 + 36(5) + 1 \] \[ v(5) = -3 \cdot 25 + 180 + 1 \] \[ v(5) = -75 + 180 + 1 \] \[ v(5) = 106 \] Phát biểu này là đúng. Phát biểu c) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t = 10$ giây là $24 \text{ m/s}^2$. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -6t + 36 \] Thay $t = 10$ vào phương trình gia tốc: \[ a(10) = -6(10) + 36 \] \[ a(10) = -60 + 36 \] \[ a(10) = -24 \] Phát biểu này là sai vì gia tốc tại thời điểm $t = 10$ giây là $-24 \text{ m/s}^2$, không phải $24 \text{ m/s}^2$. Phát biểu d) Khi vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất thì li độ của chất điểm là 231 m. Để tìm thời điểm mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của vận tốc và đặt nó bằng 0: \[ \frac{dv}{dt} = -6t + 36 = 0 \] \[ -6t + 36 = 0 \] \[ t = 6 \] Thay $t = 6$ vào phương trình li độ để tìm li độ tại thời điểm này: \[ x(6) = -(6)^3 + 18(6)^2 + 6 + 3 \] \[ x(6) = -216 + 18 \cdot 36 + 6 + 3 \] \[ x(6) = -216 + 648 + 6 + 3 \] \[ x(6) = 441 \] Phát biểu này là sai vì li độ của chất điểm khi vận tốc đạt giá trị lớn nhất là 441 m, không phải 231 m. Kết luận - Phát biểu a) là đúng. - Phát biểu b) là đúng. - Phát biểu c) là sai. - Phát biểu d) là sai.