Aosssssssssss

Câu 10. Để kiểm tra các khẳng định trên, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. 1. Khẳng định A: $\cos 40^\circ = 1 - 2 \sin^2 20^\circ$ Ta biết rằng $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$. Áp dụng vào đây với $x = 20^\circ$, ta có: \[ \cos 40^\circ = 1 - 2 \sin^2 20^\circ \] Vậy khẳng định A đúng. 2. Khẳng định B: $\cos 40^\circ = \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ$ Ta biết rằng $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Áp dụng vào đây với $x = 20^\circ$, ta có: \[ \cos 40^\circ = \cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ \] Vậy khẳng định B đúng. 3. Khẳng định C: $\cos 40^\circ = 2 \cos^2 20^\circ - 1$ Ta biết rằng $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$. Áp dụng vào đây với $x = 20^\circ$, ta có: \[ \cos 40^\circ = 2 \cos^2 20^\circ - 1 \] Vậy khẳng định C đúng. 4. Khẳng định D: $\cos 40^\circ = 1 - \sin^2 20^\circ$ Ta biết rằng $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Do đó, $\cos^2 20^\circ = 1 - \sin^2 20^\circ$. Tuy nhiên, $\cos 40^\circ$ không phải là $\cos^2 20^\circ$. Vì vậy, khẳng định này sai. Vậy khẳng định sai là: D. $\cos 40^\circ = 1 - \sin^2 20^\circ$. Câu 11. Ta có dãy số $(u_n)$ với công thức $u_n = \frac{1}{n+1}$. Để tìm ba số hạng đầu tiên của dãy số này, ta lần lượt thay $n = 1$, $n = 2$, và $n = 3$ vào công thức trên. 1. Với $n = 1$: \[ u_1 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] 2. Với $n = 2$: \[ u_2 = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3} \] 3. Với $n = 3$: \[ u_3 = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4} \] Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ lần lượt là $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, và $\frac{1}{4}$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}$. Câu 12. Câu hỏi yêu cầu tìm hiểu về cung có số đo 1 radian trên đường tròn. Chúng ta sẽ đi qua từng lựa chọn để xác định đáp án đúng. A. Cung tương ứng với góc ở tâm $60^0$. - Số đo của một góc ở tâm $60^0$ là $\frac{\pi}{3}$ radian, không phải 1 radian. Do đó, lựa chọn này không chính xác. B. Cung có độ dài bằng đường kính. - Độ dài của một cung trên đường tròn được tính bằng công thức $l = r \cdot \theta$, trong đó $r$ là bán kính và $\theta$ là số đo góc tâm (đơn vị radian). Nếu cung có độ dài bằng đường kính, tức là $l = 2r$. Điều này chỉ đúng nếu $\theta = 2$ radian, không phải 1 radian. Do đó, lựa chọn này cũng không chính xác. C. Cung có độ dài bằng bán kính. - Theo công thức $l = r \cdot \theta$, nếu $\theta = 1$ radian, thì độ dài cung sẽ là $l = r \cdot 1 = r$. Điều này đúng với định nghĩa của 1 radian. Do đó, lựa chọn này chính xác. D. Cung có độ dài bằng 1. - Độ dài của cung không phụ thuộc vào đơn vị đo mà phụ thuộc vào bán kính và số đo góc tâm. Do đó, không thể nói rằng cung có độ dài bằng 1 mà không biết bán kính cụ thể. Lựa chọn này không chính xác. Kết luận: Đáp án đúng là C. Cung có độ dài bằng bán kính. Câu 13. Hàm số $y = \cot x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ bản là $\pi$. Lý do: - Hàm cotangent ($\cot x$) có tính chất tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, tức là $\cot(x + \pi) = \cot x$ cho mọi giá trị của $x$ trong miền xác định của hàm số này. Do đó, đáp án đúng là: A. $T = \pi$. Đáp án: A. $T = \pi$. Câu 14. Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 9$ và công sai $d = 2$. Để tìm giá trị của $u_0$, ta sử dụng công thức của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n - 1)d \] Trong đó, $u_0$ là số hạng đầu tiên của dãy số, tức là $n = 0$. Ta thay vào công thức trên: \[ u_0 = u_1 - d \] \[ u_0 = 9 - 2 \] \[ u_0 = 7 \] Vậy giá trị của $u_0$ là 7. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 15. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức \( \tan(2x) \) có nghĩa. Biểu thức \( \tan(2x) \) không có nghĩa khi \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bây giờ, ta sẽ giải phương trình \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \): \[ 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \] Do đó, hàm số \( y = \tan(2x) \) không có nghĩa khi \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x) \) là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Đáp án đúng là: C. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \) Câu 16. Ta xét dãy số $(u_n)$ với $u_n = \cos n$. Trước tiên, ta nhớ rằng hàm cosinus có giá trị nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là: \[ -1 \leq \cos n \leq 1 \] Do đó, ta có: \[ -1 \leq u_n \leq 1 \] Từ đây, ta thấy rằng dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi -1 và bị chặn trên bởi 1. Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn. Vậy mệnh đề đúng là: B. Dãy số bị chặn. Đáp án: B. Dãy số bị chặn. Câu 17. Cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3$ và công bội $q=3$. Ta cần tìm giá trị của $u_3$. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Áp dụng vào bài toán này: \[ u_3 = u_1 \cdot q^{3-1} \] \[ u_3 = 3 \cdot 3^{2} \] \[ u_3 = 3 \cdot 9 \] \[ u_3 = 27 \] Vậy giá trị của $u_3$ là 27. Đáp án đúng là: D. 27 Câu 18. Ta xét từng mệnh đề: A. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 0$ Theo công thức Pythagoras trong lượng giác, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ không thể bằng 0. B. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = -1$ Cũng theo công thức Pythagoras trong lượng giác, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ không thể bằng -1. C. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 2$ Theo công thức Pythagoras trong lượng giác, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ không thể bằng 2. D. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ Theo công thức Pythagoras trong lượng giác, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Từ đây suy ra: \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: D. $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$. Câu 19. Câu hỏi yêu cầu xác định dãy số giảm trong các dãy số đã cho. Dãy số giảm là dãy số mà mỗi số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước nó. A. $1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; -\frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$ Ta thấy các số hạng thay đổi dấu và không liên tục giảm dần, vì có số dương lớn hơn số âm. Do đó, dãy này không phải là dãy số giảm. B. 2; 4; 6; 8; 10; ... Dãy số này là dãy số tăng vì mỗi số hạng sau lớn hơn số hạng trước nó. C. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$ Ta thấy mỗi số hạng sau nhỏ hơn số hạng trước nó, cụ thể là mỗi số hạng sau bằng một nửa số hạng trước nó. Do đó, dãy này là dãy số giảm. D. 1; 1; 1; 1; 1; 1; ... Dãy số này là dãy số hằng vì tất cả các số hạng đều bằng nhau. Do đó, dãy này không phải là dãy số giảm. Kết luận: Dãy số giảm là dãy số C. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$ Đáp án: C. $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; ...$ Câu 20. Ta xét các khẳng định sau: A. $\cot\alpha < 0$: - Trong khoảng $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Vì cả $\cos\alpha$ và $\sin\alpha$ đều dương trong khoảng này, nên $\cot\alpha$ cũng sẽ dương. Do đó, khẳng định này sai. B. $\cos\alpha < 0$: - Trong khoảng $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\cos\alpha$ luôn dương. Do đó, khẳng định này sai. C. $\tan\alpha > 0$: - Trong khoảng $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Vì cả $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ đều dương trong khoảng này, nên $\tan\alpha$ cũng sẽ dương. Do đó, khẳng định này đúng. D. $\sin\alpha < 0$: - Trong khoảng $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\sin\alpha$ luôn dương. Do đó, khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: C. $\tan\alpha > 0$. Câu 21. Để xác định xem một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. 1; 3; 4; 5; 6 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 3 - 1 = 2, 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1, 6 - 5 = 1 Như vậy, các hiệu không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số cộng. B. 1; 2; 3; 4; 6 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 2 - 1 = 1, 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 6 - 4 = 2 Như vậy, các hiệu không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số cộng. C. 1; 2; 3; 4; 5 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 2 - 1 = 1, 3 - 2 = 1, 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1 Như vậy, các hiệu đều bằng nhau (bằng 1), do đó dãy này là cấp số cộng. D. 1; 3; 4; 8; 5 - Hiệu giữa các số liên tiếp: 3 - 1 = 2, 4 - 3 = 1, 8 - 4 = 4, 5 - 8 = -3 Như vậy, các hiệu không bằng nhau, do đó dãy này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Dãy số C. 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng. Câu 22. Để khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các khoảng thời gian và số lượng học sinh trong mỗi khoảng Các khoảng thời gian và số lượng học sinh tương ứng là: - [0; 20): 5 học sinh - [20; 40): 9 học sinh - [40; 60): 12 học sinh - [60; 80): 10 học sinh - [80; 100): 6 học sinh Bước 2: Tính tổng số học sinh Tổng số học sinh = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42 học sinh Bước 3: Tính tần suất tương đối cho mỗi khoảng thời gian Tần suất tương đối của mỗi khoảng thời gian được tính bằng cách chia số học sinh trong khoảng đó cho tổng số học sinh. - Tần suất tương đối của [0; 20): $\frac{5}{42}$ - Tần suất tương đối của [20; 40): $\frac{9}{42}$ - Tần suất tương đối của [40; 60): $\frac{12}{42}$ - Tần suất tương đối của [60; 80): $\frac{10}{42}$ - Tần suất tương đối của [80; 100): $\frac{6}{42}$ Bước 4: Tính trung vị của mẫu số liệu Trung vị là giá trị ở giữa của dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Với 42 học sinh, trung vị nằm ở giữa hai giá trị thứ 21 và 22. - Tổng số học sinh trong các khoảng trước [40; 60) là 5 + 9 = 14 học sinh. - Tổng số học sinh trong các khoảng trước [60; 80) là 14 + 12 = 26 học sinh. Vì vậy, trung vị nằm trong khoảng [40; 60). Ta có thể lấy giá trị trung bình của khoảng này để làm trung vị: \[ \text{Trung vị} = \frac{40 + 60}{2} = 50 \text{ phút} \] Bước 5: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng được tính bằng cách nhân mỗi giá trị trung tâm của khoảng thời gian với số lượng học sinh trong khoảng đó, sau đó chia tổng này cho tổng số học sinh. Giá trị trung tâm của các khoảng thời gian: - Giá trị trung tâm của [0; 20) là 10 phút - Giá trị trung tâm của [20; 40) là 30 phút - Giá trị trung tâm của [40; 60) là 50 phút - Giá trị trung tâm của [60; 80) là 70 phút - Giá trị trung tâm của [80; 100) là 90 phút Tính trung bình cộng: \[ \text{Trung bình cộng} = \frac{(10 \times 5) + (30 \times 9) + (50 \times 12) + (70 \times 10) + (90 \times 6)}{42} \] \[ = \frac{50 + 270 + 600 + 700 + 540}{42} \] \[ = \frac{2160}{42} \] \[ = 51.43 \text{ phút} \] Kết luận - Tổng số học sinh: 42 học sinh - Trung vị: 50 phút - Trung bình cộng: 51.43 phút Đây là các bước chi tiết để khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11.