cíuuuuuuuuu

Câu 19. Để kiểm tra từng đẳng thức, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ trong hình học và đặc biệt là trong hình hộp. A. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{B_1A_1}$ Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}$ và $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1A_1}$ vì các cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Do đó: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{B_1A_1} \] Đẳng thức này đúng. B. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{DC}$ Trong hình hộp, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{A_1B_1}$ và $\overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{DA}$. Ta có: \[ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DA} \] Tuy nhiên, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DA}$ không phải là $\overrightarrow{DC}$. Vì vậy, đẳng thức này sai. C. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1}$ Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1}$. Do đó: \[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1} \] Đẳng thức này đúng. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BC}$ Trong hình hộp, $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}$ và $\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{CD_1}$. Ta có: \[ \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD_1} \] Tuy nhiên, $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{CD_1}$ không phải là $\overrightarrow{BC}$. Vì vậy, đẳng thức này sai. Do đó, đẳng thức sai là: \[ \boxed{\text{B}} \] Câu 20. Trước tiên, ta xét các vectơ đã cho trong hình lăng trụ tam giác \(ABC.A_1B_1C_1\): - \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{a}\) - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\) - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{d}\) Ta cần kiểm tra từng đẳng thức để xác định đẳng thức nào đúng. A. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) Ta có: \[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] Do đó: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{c} \] Đẳng thức này không phải lúc nào cũng bằng \(\overrightarrow{0}\). Do đó, A sai. B. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}\) Ta có: \[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] Do đó: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] Đẳng thức này không đúng. Do đó, B sai. C. \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\) Ta có: \[ \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] Do đó: \[ \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{0} \] Đẳng thức này đúng. Do đó, C đúng. D. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) Ta thấy rằng \(\overrightarrow{a}\) là vectơ chỉ chiều cao của lăng trụ, còn \(\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\) là vectơ nằm trên mặt đáy. Do đó, \(\overrightarrow{a}\) không thể bằng tổng của \(\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{c}\). Do đó, D sai. Vậy đáp án đúng là C. Câu 21. Để tìm giá trị của \( k \) trong đẳng thức \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = k \overrightarrow{DG}\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm G của tam giác ABC: Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) được xác định bởi: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{DG}\): Vectơ từ điểm \( D \) đến điểm \( G \) là: \[ \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{D} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \] 3. Tính tổng các vectơ \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\), và \(\overrightarrow{DC}\): Ta có: \[ \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}, \quad \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} \] Do đó: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}) \] \[ = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] 4. So sánh với \( k \overrightarrow{DG} \): Ta đã biết: \[ \overrightarrow{DG} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{D} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 3 \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{D} \] 5. So sánh kết quả: Từ bước 3 và bước 4, ta thấy: \[ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = 3 \overrightarrow{DG} \] Vậy \( k = 3 \). Do đó, giá trị của \( k \) là \( 3 \). Đáp án đúng là: C. \( k = 3 \). Câu 22. Để tìm giá trị của \( k \) sao cho đẳng thức vectơ \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}^2 + k(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D}) = \overrightarrow{0}\) đúng, chúng ta sẽ phân tích từng thành phần của đẳng thức này. Trước tiên, hãy xem xét từng vectơ trong biểu thức: - \(\overrightarrow{AC}\): Vectơ từ đỉnh \(A\) đến đỉnh \(C\). - \(\overrightarrow{BA}^2\): Đây có thể là một lỗi gõ, vì bình phương một vectơ không có ý nghĩa trong ngữ cảnh này. Chúng ta sẽ giả định đây là một lỗi và bỏ qua nó. - \(\overrightarrow{DB}\): Vectơ từ đỉnh \(D\) đến đỉnh \(B\). - \(\overrightarrow{C'D}\): Vectơ từ đỉnh \(C'\) đến đỉnh \(D\). Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích biểu thức \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D}\): - \(\overrightarrow{DB}\) là vectơ từ \(D\) đến \(B\). - \(\overrightarrow{C'D}\) là vectơ từ \(C'\) đến \(D\). Trong hình hộp, ta có thể thấy rằng \(\overrightarrow{DB}\) và \(\overrightarrow{C'D}\) là hai vectơ ngược chiều và có cùng độ dài (vì \(DB\) và \(C'D\) là các đoạn thẳng song song và bằng nhau). Do đó, \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{0}\). Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \[ \overrightarrow{AC} + k(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D}) = \overrightarrow{AC} + k \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{AC} \] Để biểu thức này bằng \(\overrightarrow{0}\), ta cần \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\). Điều này chỉ đúng nếu \(k = 0\). Do đó, giá trị của \(k\) thích hợp là: \[ \boxed{k = 0} \] Câu 23. Để xác định mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\), ta sẽ kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không. Ta có: \[ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{y} = -6\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} \] Bước 1: Kiểm tra xem \(\overrightarrow{y}\) có thể được viết dưới dạng một bội của \(\overrightarrow{x}\) hay không. Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{y} = -3(2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = -3\overrightarrow{x} \] Bước 2: Xác định hướng của hai vectơ. Do \(\overrightarrow{y} = -3\overrightarrow{x}\), ta nhận thấy rằng \(\overrightarrow{y}\) là một bội của \(\overrightarrow{x}\) với hệ số là \(-3\). Điều này cho thấy hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\) là cùng phương nhưng ngược hướng. Vậy, mệnh đề đúng nhất là: C. Hai vecto \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\) là cùng phương và ngược hướng. Câu 24. Để kiểm tra xem hai vectơ có cùng phương hay không, ta cần kiểm tra xem liệu có tồn tại một số thực \( k \) sao cho một vectơ bằng \( k \) lần vectơ kia. A. Kiểm tra hai vectơ \(\overrightarrow{y}\) và \(\overrightarrow{z}\): \[ \overrightarrow{y} = -4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} \] Giả sử \(\overrightarrow{y} = k \overrightarrow{z}\), ta có: \[ -4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = k(-3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}) \] \[ -4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} = -2k\overrightarrow{a} - 3k\overrightarrow{b} \] So sánh các thành phần tương ứng: \[ -4 = -2k \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] \[ 2 = -3k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{2}{3} \] Vì \( k = 2 \) và \( k = -\frac{2}{3} \) là mâu thuẫn, nên hai vectơ \(\overrightarrow{y}\) và \(\overrightarrow{z}\) không cùng phương. B. Kiểm tra hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\): \[ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{y} = -4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \] Giả sử \(\overrightarrow{x} = k \overrightarrow{y}\), ta có: \[ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(-4\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}) \] \[ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = -4k\overrightarrow{a} + 2k\overrightarrow{b} \] So sánh các thành phần tương ứng: \[ 2 = -4k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{2} \] \[ -1 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{2} \] Vì \( k = -\frac{1}{2} \) thỏa mãn cả hai phương trình, nên hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\) cùng phương. C. Kiểm tra hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{z}\): \[ \overrightarrow{x} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{z} = -3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} \] Giả sử \(\overrightarrow{x} = k \overrightarrow{z}\), ta có: \[ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = k(-3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}) \] \[ 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = -2k\overrightarrow{a} - 3k\overrightarrow{b} \] So sánh các thành phần tương ứng: \[ 2 = -2k \quad \Rightarrow \quad k = -1 \] \[ -1 = -3k \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{3} \] Vì \( k = -1 \) và \( k = \frac{1}{3} \) là mâu thuẫn, nên hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{z}\) không cùng phương. D. Đáp án A, B, C, đều sai. Kết luận: Khẳng định đúng là B. Hai vectơ \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{y}\) cùng phương. Câu 25. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm trên cạnh AB của mặt đáy ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{DD'}$ là vectơ đứng thẳng từ đỉnh D lên đỉnh D' của hình lập phương. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DD'}$ chính là góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng DD'. Vì AB nằm trong mặt phẳng đáy ABCD và DD' vuông góc với mặt phẳng này, nên góc giữa AB và DD' sẽ là góc vuông (90°). Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DD'}$ là 90°. Đáp số: 90°