Cho hàm số y=(2x-1)/(x-1) có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C), M là một điểm bất kì trên (C) và tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. Biết chữ vi tam giác I...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C): - Hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) có đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) (vì mẫu số bằng 0 khi \( x = 1 \)). - Đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 2 \)). Vậy giao điểm của hai đường tiệm cận là \( I(1, 2) \). 2. Tìm tiếp tuyến của (C) tại điểm M: - Gọi \( M(x_0, y_0) \) là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C). - Ta có \( y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \). Để tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0, y_0) \), ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x-1)'(x-1) - (2x-1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{2(x-1) - (2x-1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0, y_0) \) là: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] Thay \( y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \) và \( y'(x_0) = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2} \): \[ y - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] 3. Tìm tọa độ của các điểm A và B: - Điểm A là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận đứng \( x = 1 \): \[ y - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) \] \[ y = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} + \frac{1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0 - 1 + 1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1} \] Vậy \( A(1, \frac{2x_0}{x_0 - 1}) \). - Điểm B là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang \( y = 2 \): \[ 2 - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ 2 - \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ \frac{2(x_0 - 1) - (2x_0 - 1)}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ \frac{-1}{x_0 - 1} = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) \] \[ x - x_0 = x_0 - 1 \] \[ x = 2x_0 - 1 \] Vậy \( B(2x_0 - 1, 2) \). 4. Tính diện tích tam giác IAB: - Diện tích tam giác IAB là: \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| x_I(y_A - y_B) + x_A(y_B - y_I) + x_B(y_I - y_A) \right| \] Thay \( I(1, 2) \), \( A(1, \frac{2x_0}{x_0 - 1}) \), \( B(2x_0 - 1, 2) \): \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| 1 \left( \frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2 \right) + 1 \left( 2 - 2 \right) + (2x_0 - 1) \left( 2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1} \right) \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{2x_0 - 2(x_0 - 1)}{x_0 - 1} + (2x_0 - 1) \left( \frac{2(x_0 - 1) - 2x_0}{x_0 - 1} \right) \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{2}{x_0 - 1} + (2x_0 - 1) \left( \frac{-2}{x_0 - 1} \right) \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{2 - 2(2x_0 - 1)}{x_0 - 1} \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{2 - 4x_0 + 2}{x_0 - 1} \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{4 - 4x_0}{x_0 - 1} \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| \frac{4(1 - x_0)}{x_0 - 1} \right| \] \[ S_{IAB} = \frac{1}{2} \left| -4 \right| \] \[ S_{IAB} = 2 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác IAB: - Diện tích tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất là 2. 6. Tìm giá trị biểu thức \( a - b + 4 \): - Ta có \( a + \sqrt{b} = 2 \). - Vì \( a \) và \( b \) là số tự nhiên, nên \( a = 2 \) và \( b = 0 \). Vậy giá trị biểu thức \( a - b + 4 \) là: \[ a - b + 4 = 2 - 0 + 4 = 6 \] Đáp số: \( 6 \)