Giúp mik vs ạ Bài 5: (1,0 điểm) Tìm đa thức $f(x)$ biết $f(x)$ chia cho $x-2$ thì dư 5. $f(x)$ chia cho,x -3 thì dư 7, $f(x)$ chia cho $x^2-5x+6$ thì được thương là $1-x^2$ và còn dư.

Question

Accepted Answer

Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x-2), (x-3) lần lượt là P(x), Q(x) ta có:
f(x)=(x-2).P(x)+5 (1)
f(x)=(x-3).Q(x)+7 (2)
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho $\displaystyle x^{2} -5x+6$ là g(x) và dư là nhị thức bậc nhất ax+b ta có:
f(x)=(x-2)(x-3).g(x)+ax+b (3)
Các đẳng thức (1),(2),(3) đúng với mọi x, do đó:
Với x=2 thì từ (1) ta có: f(2)=5, còn từ (3) ta có: f(2)=2a+b suy ra 2a+b=5 (*)
Với x=3 thì từ (2) ta có: f(3)=7, còn từ (3) ta có: f(3)=3a+b suy ra 3a+b=7 (**)
Từ (*) và (**) ta có:$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
2a+b=5 & \
3a+b=7 &
\end{cases}\
\begin{cases}
a=2 & \
b=1 &
\end{cases}
\end{array}$
Vậy đa thức phải tìm là: $\displaystyle f( x) =\left( x^{2} -5x+6 ight)\left( 1-x^{2} ight) +2x+1\ =-x^{4} +5x^{3} -5x^{2} -3x+7\ $