Giải giúp em

Câu 1: Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Ta sẽ chứng minh rằng MN song song với AC. 1. Xác định các đoạn thẳng và trung điểm: - M là trung điểm của SA, tức là \(SM = MA\). - N là trung điểm của SD, tức là \(SN = ND\). 2. Áp dụng tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành ABCD, ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\). 3. Xét tam giác SAD: - M và N là trung điểm của SA và SD, do đó theo định lý trung tuyến trong tam giác, đoạn thẳng MN sẽ song song với đáy AD của tam giác SAD và có độ dài bằng nửa độ dài của AD. 4. Tính chất của hình bình hành: - Vì ABCD là hình bình hành, nên \(AD \parallel BC\) và \(AD = BC\). Do đó, \(MN \parallel AD \parallel BC\). 5. Kết luận: - Vì \(MN \parallel AD\) và \(AD \parallel BC\), suy ra \(MN \parallel AC\). Do đó, MN song song với đường thẳng AC. Đáp án đúng là: B. AC. Câu 2: Để xác định mệnh đề đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: A. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. - Đây là một mệnh đề đúng. Theo định lý cơ bản về mặt phẳng, nếu ba điểm không thẳng hàng thì luôn có duy nhất một mặt phẳng đi qua ba điểm đó. B. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm. - Mệnh đề này sai. Một điểm không xác định duy nhất một mặt phẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm. C. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai điểm phân biệt. - Mệnh đề này cũng sai. Hai điểm phân biệt không xác định duy nhất một mặt phẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua hai điểm. D. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua bốn điểm tùy ý. - Mệnh đề này sai. Bốn điểm tùy ý không chắc chắn nằm trên cùng một mặt phẳng. Chỉ khi bốn điểm đồng phẳng mới có duy nhất một mặt phẳng đi qua chúng. Vậy, mệnh đề đúng là: A. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Câu 3: Trong tứ diện ABCD, ta xét các trường hợp sau: 1. Nếu AB và CD nằm trong cùng một mặt phẳng: - Trong trường hợp này, AB và CD có thể song song hoặc cắt nhau. 2. Nếu AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng: - Trong trường hợp này, AB và CD sẽ chéo nhau. Tuy nhiên, trong một tứ diện, các cạnh không nằm trong cùng một mặt phẳng, do đó AB và CD không thể nằm trong cùng một mặt phẳng. Vì vậy, AB và CD sẽ chéo nhau. Vậy khẳng định đúng là: C. AB và CD chéo nhau. Câu 4: Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành. Điều này có nghĩa là các đường chéo của nó sẽ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, giao điểm của AC và BD là cùng một điểm. Bây giờ, ta xét giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\). Ta cần tìm hiểu xem \(d\) song song với đường nào trong các đường AB, BC, AD hoặc AC. Ta biết rằng: - Mặt phẳng \((SAB)\) chứa các điểm S, A và B. - Mặt phẳng \((SCD)\) chứa các điểm S, C và D. Do đó, giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng này phải đi qua điểm S và nằm trên cả hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\). Ta cũng biết rằng: - Trong hình bình hành ABCD, đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. - Đường chéo AC của hình bình hành ABCD sẽ tạo thành các tam giác cân với các đỉnh là A, C và các đỉnh còn lại của hình bình hành. Do đó, giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) sẽ song song với đường chéo AC của hình bình hành ABCD. Vậy, đáp án đúng là: D. \(d // AC\). Đáp số: D. \(d // AC\). Câu 5: G là trọng tâm của tam giác ACD nên G chia đường trung tuyến của tam giác ACD thành tỉ số $\frac{2}{3}$. M là điểm trên cạnh AB sao cho $AM=2MB$ suy ra M chia AB thành tỉ số $\frac{2}{3}$. Vậy đường thẳng MG song song với BD (theo định lý Thales trong không gian). Do đó, đường thẳng MG song song với mặt phẳng (ACD). Chọn đáp án A Câu 6: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 1. Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P): Điều này có nghĩa là đường thẳng d không cắt mặt phẳng (P) tại bất kỳ điểm nào. Do đó, đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung nào. 2. Lập luận từng bước: - Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), thì đường thẳng d không cắt mặt phẳng (P) tại bất kỳ điểm nào. - Điều này loại bỏ các lựa chọn A, B và C vì chúng đều nói rằng đường thẳng d có điểm chung với mặt phẳng (P). - Lựa chọn D nói rằng đường thẳng d không có điểm chung với mặt phẳng (P), điều này đúng với định nghĩa của đường thẳng song song với mặt phẳng. Do đó, mệnh đề đúng là: D. Đường thẳng d không có điểm chung với mặt phẳng (P). Đáp án: D. Câu 7: Trong tứ diện ABCD, ta gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua MN. Xét hai mặt phẳng (ABD) và (CDA): - Mặt phẳng (ABD) chứa các điểm A, B, D. - Mặt phẳng (CDA) chứa các điểm C, D, A. Trung điểm M của AD thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (CDA). Trung điểm N của BC cũng thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (CDA). Vì vậy, đoạn thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (CDA). Đáp án: MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (CDA).