Số hạng không chứa x là? Câu 25. Số hạng không chứa x trong khai triển $(\frac1{\sqrt[3]{x^2}}+\sqrt[4]{x^3})^{17},$ với $x0$ là

Question

Số hạng không chứa x là? Câu 25. Số hạng không chứa x trong khai triển $(\frac1{\sqrt[3]{x^2}}+\sqrt[4]{x^3})^{17},$ với $x>0$ là

Accepted Answer

Câu 25:
Để tìm số hạng không chứa $ x $ trong khai triển $ \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} + \sqrt[4]{x^3} \right)^{17} $, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton.

Công thức nhị thức Newton cho ta:
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$

Trong trường hợp này, $ a = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} $, $ b = \sqrt[4]{x^3} $, và $ n = 17 $.

Ta cần tìm số hạng $ \binom{17}{k} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)^{17-k} \left( \sqrt[4]{x^3} \right)^k $ sao cho lũy thừa của $ x $ bằng 0.

Lũy thừa của $ x $ trong số hạng này là:
$$ -\frac{2}{3}(17-k) + \frac{3}{4}k $$

Yêu cầu lũy thừa của $ x $ bằng 0:
$$ -\frac{2}{3}(17-k) + \frac{3}{4}k = 0 $$

Giải phương trình này:
$$ -\frac{2}{3}(17-k) + \frac{3}{4}k = 0 $$
$$ -\frac{34}{3} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = 0 $$
$$ -\frac{34}{3} + \frac{8k + 9k}{12} = 0 $$
$$ -\frac{34}{3} + \frac{17k}{12} = 0 $$
$$ -\frac{136}{12} + \frac{17k}{12} = 0 $$
$$ -136 + 17k = 0 $$
$$ 17k = 136 $$
$$ k = 8 $$

Vậy số hạng không chứa $ x $ là:
$$ \binom{17}{8} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)^{17-8} \left( \sqrt[4]{x^3} \right)^8 $$
$$ = \binom{17}{8} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)^9 \left( \sqrt[4]{x^3} \right)^8 $$
$$ = \binom{17}{8} \left( \frac{1}{x^6} \right) \left( x^6 \right) $$
$$ = \binom{17}{8} $$

Tính $ \binom{17}{8} $:
$$ \binom{17}{8} = \frac{17!}{8!(17-8)!} = \frac{17!}{8!9!} $$

Do đó, số hạng không chứa $ x $ trong khai triển là:
$$ \boxed{\binom{17}{8}} $$