Cho kết quả và giải thích

Câu 1. Trọng tâm G của hình tứ diện ABCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 3 : 1. Ta có: $\overrightarrow{AG}=\frac34\overrightarrow{AM}$ $=\frac34\times \frac23(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ $=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ Vậy A, B sai. $\overrightarrow{OG}=\frac14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ nên C đúng. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow0$ nên D đúng. Vậy A, B sai. Câu 2. Ta có: \[ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AQ} \] Mà $\overrightarrow{PA} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$ Do đó: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \] Thay vào ta được: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{PQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] Nhận thấy rằng $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$, do đó: \[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] Từ đó ta có: \[ \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}) \] Vậy khẳng định đúng là: B. $\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD})$. Câu 3. Để xác định điều kiện cần và đủ để các điểm \(A, B, C, D\) tạo thành hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của vectơ trong hình học. Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \] Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra điều kiện đúng. A. \( \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \) B. \( \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} \) C. \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \) D. \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \) Ta thấy rằng điều kiện \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \) chính là điều kiện cần và đủ để các điểm \(A, B, C, D\) tạo thành hình bình hành. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{C} \] Câu 4. Để kiểm tra từng khẳng định, ta sẽ sử dụng tính chất của vectơ và trung điểm trong hình học. A. $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MG}$ Do M là trung điểm của AB, ta có: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$ Tương tự, do M cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa A và B, ta có: $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MM'}$, trong đó M' là trung điểm của CD. Nhưng vì M' chính là N, nên: $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MN}$ Vậy: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0} + 2\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$ Mặt khác, G là trung điểm của MN, nên: $\overrightarrow{MG} = \frac{1}{2}\overrightarrow{MN}$ Do đó: $4\overrightarrow{MG} = 4 \times \frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{MN}$ Vậy khẳng định A đúng. B. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$ G là trung điểm của MN, nên: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GM}$ Tương tự: $\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GN}$ Nhưng vì G là trung điểm của MN, ta có: $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$ Do đó: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GM} + 2\overrightarrow{GN} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$ Vậy khẳng định B sai. C. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN}) = 2\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$ Vậy khẳng định C đúng. D. $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$ G là trung điểm của MN, nên: $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} = \overrightarrow{0}$ Vậy khẳng định D đúng. Kết luận: Khẳng định sai là B. Câu 5. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=2\overrightarrow{IJ}$ Vậy đáp án đúng là B. Câu 6. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = 2\overrightarrow{AC}$ Ta có: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ $\overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{C_1C}$ Tổng lại: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{C_1C})$ Do $\overrightarrow{A_1D_1} = -\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D_1C_1} = -\overrightarrow{BC}$, ta có: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{C_1C}$ Suy ra: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$ Như vậy, khẳng định A là sai. B. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0}$ Ta có: $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ $\overrightarrow{CA_1} = -\overrightarrow{AC_1}$ $\overrightarrow{C_1C} = -\overrightarrow{CC_1}$ Tổng lại: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + 2(-\overrightarrow{CC_1})$ Suy ra: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{CA_1} + 2\overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{0} - \overrightarrow{0} - 2\overrightarrow{CC_1} = -2\overrightarrow{CC_1}$ Như vậy, khẳng định B là sai. C. $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{AA_1}$ Ta đã chứng minh ở trên rằng: $\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{0}$ Như vậy, khẳng định C là sai. D. $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CC_1}$ Ta có: $\overrightarrow{CA_1} = -\overrightarrow{AC_1}$ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ Tổng lại: $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ Do $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$, ta có: $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ Suy ra: $\overrightarrow{CA_1} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{CC_1}$ Như vậy, khẳng định D là sai. Kết luận: Các khẳng định A, B, C và D đều sai. Câu 7. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để tìm ra đẳng thức sai. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$ Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AC'}$ Và: $\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{AC'}$ Như vậy, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} + \overrightarrow{OC'}$. Đẳng thức này đúng. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$ Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB'}$ $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AD'}$ Như vậy, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}$. Đẳng thức này đúng. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}$ Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{AC'}$ $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{CA}$ Như vậy, $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{0}$. Đẳng thức này đúng. D. $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ Ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ Như vậy, $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$. Đẳng thức này đúng. Từ các kiểm tra trên, ta thấy tất cả các đẳng thức đều đúng. Do đó, không có đẳng thức sai trong các đẳng thức đã cho. Đáp án: Không có đẳng thức sai. Câu 8. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để tìm ra đẳng thức sai. A. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{B_1A_1}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{B_1C_1}$ là hai vectơ song song và bằng nhau vì chúng cùng nằm trên các cạnh tương ứng của hình hộp. - Tương tự, $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{B_1A_1}$ cũng là hai vectơ song song và bằng nhau vì chúng cùng nằm trên các cạnh tương ứng của hình hộp. Do đó, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{B_1A_1}$ là đúng. B. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{DC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D. - $\overrightarrow{D_1C_1}$ là vectơ từ đỉnh D1 đến đỉnh C1. - $\overrightarrow{D_1A_1}$ là vectơ từ đỉnh D1 đến đỉnh A1. Ta cần kiểm tra xem tổng của ba vectơ này có bằng $\overrightarrow{DC}$ hay không. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. - $\overrightarrow{D_1C_1}$ là vectơ từ D1 đến C1, nhưng nó không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{DC}$. - $\overrightarrow{D_1A_1}$ là vectơ từ D1 đến A1, nhưng nó cũng không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{DC}$. Do đó, tổng của ba vectơ này không thể bằng $\overrightarrow{DC}$. Vậy đẳng thức sai là B. Đáp án: B. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{DC}$.