Cho hàm số Câu 25. Cho hàm số $y=\frac{-x^2+6x-4}{x-6}.$ Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là,A. -10. B. 4. C. -2. D. 8.

Question

𝕼.𝖈𝖍𝖎𝖎𝖎＊୨ৎ · Accepted Answer

{"userId":5422082,"userName":"Phương Nhung"}

Hàm số:

$$y=\frac{-x^{2}+6x-4}{x-6}=-x-\frac{4}{x-6},\; x e6$$

Giải:

$$y'=\frac{-x^{2}+12x-32}{(x-6)^2}=0 \Rightarrow x=4,8.$$

Tại $x=4$: cực tiểu, $y(4)=-2$.

$\Rightarrow$ Cực tiểu: $\boxed{-2}$ tại $x=4$.

$\Rightarrow$ C

Timi · Answer

Câu 25:
Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số $ y = \frac{-x^2 + 6x - 4}{x - 6} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số:
   Hàm số $ y = \frac{-x^2 + 6x - 4}{x - 6} $ là một phân thức, do đó chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm đạo hàm $ y&#x27; $.

Đặt $ u = -x^2 + 6x - 4 $ và $ v = x - 6 $. Khi đó:
   $$
   u&#x27; = -2x + 6 \quad \text{và} \quad v&#x27; = 1
   $$

Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức $ \left( \frac{u}{v} \right)&#x27; = \frac{u&#x27;v - uv&#x27;}{v^2} $:
   $$
   y&#x27; = \frac{(-2x + 6)(x - 6) - (-x^2 + 6x - 4)(1)}{(x - 6)^2}
   $$

Tính tử số:
   $$
   (-2x + 6)(x - 6) = -2x^2 + 12x + 6x - 36 = -2x^2 + 18x - 36
   $$
   $$
   -(-x^2 + 6x - 4) = x^2 - 6x + 4
   $$

Kết hợp lại:
   $$
   y&#x27; = \frac{-2x^2 + 18x - 36 + x^2 - 6x + 4}{(x - 6)^2} = \frac{-x^2 + 12x - 32}{(x - 6)^2}
   $$

2. Giải phương trình $ y&#x27; = 0 $:
   $$
   \frac{-x^2 + 12x - 32}{(x - 6)^2} = 0
   $$
   Điều này xảy ra khi tử số bằng 0:
   $$
   -x^2 + 12x - 32 = 0
   $$

Giải phương trình bậc hai:
   $$
   x^2 - 12x + 32 = 0
   $$
   $$
   x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2}
   $$
   $$
   x = 8 \quad \text{hoặc} \quad x = 4
   $$

3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm $ x = 8 $ và $ x = 4 $:
   $$
   y(8) = \frac{-(8)^2 + 6(8) - 4}{8 - 6} = \frac{-64 + 48 - 4}{2} = \frac{-20}{2} = -10
   $$
   $$
   y(4) = \frac{-(4)^2 + 6(4) - 4}{4 - 6} = \frac{-16 + 24 - 4}{-2} = \frac{4}{-2} = -2
   $$

4. So sánh các giá trị để tìm giá trị cực tiểu:
   Giá trị của hàm số tại $ x = 8 $ là $ -10 $ và tại $ x = 4 $ là $ -2 $.

Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $ -10 $.

Đáp án: Giá trị cực tiểu của hàm số là $ -10 $.

$$
\boxed{-10}
$$