giúppppppppp

Câu 1. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = \frac{1}{2}$ và công bội $q = 2$. Ta cần tìm giá trị của $u_{\infty}$. Trước tiên, ta nhớ lại rằng trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với công bội. Do đó, ta có thể viết các số hạng đầu tiên của dãy như sau: \[ u_1 = \frac{1}{2}, \] \[ u_2 = u_1 \cdot q = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1, \] \[ u_3 = u_2 \cdot q = 1 \cdot 2 = 2, \] \[ u_4 = u_3 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4, \] \[ \vdots \] Nhìn vào các số hạng này, ta thấy rằng dãy số đang tăng dần mà không có giới hạn trên. Do đó, $u_{\infty}$ không tồn tại vì dãy số không hội tụ đến một giá trị cố định nào. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét các đáp án đã cho: A. $2^0 = 1$ B. $\frac{1}{2^0} = 1$ C. $\frac{37}{2} = 18.5$ D. $2^5 = 32$ Ta thấy rằng không có đáp án nào đúng vì $u_{\infty}$ không tồn tại. Tuy nhiên, nếu phải chọn một đáp án gần đúng nhất, ta có thể chọn đáp án B vì nó là giá trị của $u_2$ trong dãy số. Vậy đáp án gần đúng nhất là: B. $\frac{1}{2^0} = 1$ Câu 2. Để xác định chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \sin x \), chúng ta cần tìm giá trị \( T \) sao cho: \[ \sin(x + T) = \sin x \] Chúng ta biết rằng hàm sin có tính chất tuần hoàn với chu kỳ \( 2\pi \). Điều này có nghĩa là: \[ \sin(x + 2\pi) = \sin x \] Do đó, chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \sin x \) là \( 2\pi \). Vậy đáp án đúng là: A. \( 2\pi \) Lập luận từng bước: 1. Xác định tính chất tuần hoàn của hàm sin: \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \). 2. Kết luận chu kỳ tuần hoàn của hàm số \( y = \sin x \) là \( 2\pi \). Câu 3. Để tìm hai số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ với số hạng tổng quát $u_n = \frac{n}{2^n - 1}$, chúng ta sẽ thay $n = 1$ và $n = 2$ vào công thức này. 1. Tìm $u_1$: \[ u_1 = \frac{1}{2^1 - 1} = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \] 2. Tìm $u_2$: \[ u_2 = \frac{2}{2^2 - 1} = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3} \] Vậy hai số hạng đầu tiên của dãy số là $u_1 = 1$ và $u_2 = \frac{2}{3}$. Do đó, đáp án đúng là: C. $u_1 = 1; u_2 = \frac{2}{3}$. Câu 4. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu tiên $u_1 = 9$ và công sai $d = 2$. Để tìm giá trị của $u_2$, ta sử dụng công thức của số hạng thứ hai trong cấp số cộng: \[ u_2 = u_1 + d \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ u_2 = 9 + 2 = 11 \] Vậy giá trị của $u_2$ là 11. Đáp án đúng là: B. 11. Câu 5. Để tính giá trị của $\cos\alpha$, ta sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Biết rằng $\sin\alpha = \frac{3}{5}$, ta thay vào công thức trên: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2\alpha = \frac{16}{25} \] Do đó: \[ \cos\alpha = \pm \frac{4}{5} \] Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, góc $\alpha$ nằm trong khoảng từ $\frac{\pi}{2}$ đến $\pi$, tức là trong phần thứ hai của vòng tròn đơn vị, nơi mà $\cos\alpha$ là âm. Do đó: \[ \cos\alpha = -\frac{4}{5} \] Vậy đáp án đúng là: B. $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Câu 6. Để giải phương trình $2\sin x - \sqrt{3} = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển $\sqrt{3}$ sang vế phải: \[ 2\sin x = \sqrt{3} \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 2: \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Xác định các giá trị của $x$ trong đoạn $[0; \pi]$ sao cho $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: \[ x = \frac{\pi}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] Bước 4: Tính tổng các nghiệm: \[ \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \] Vậy tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn $[0; \pi]$ của phương trình là $\pi$. Đáp án đúng là: D. $\pi$. Câu 7. Ta sẽ kiểm tra từng công thức một để xác định công thức đúng. A. $\sin(a + b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ Theo công thức cộng của sin, ta có: $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ Vậy công thức này sai. B. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Theo công thức cộng của cos, ta có: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Vậy công thức này đúng. C. $\sin(a - b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ Theo công thức trừ của sin, ta có: $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ Vậy công thức này sai. D. $\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Theo công thức trừ của cos, ta có: $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ Vậy công thức này sai. Kết luận: Công thức đúng là B. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ Câu 8. Để tìm thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng thời gian của tất cả các học sinh: - Thời gian của nhóm [0;4) phút: \(2 \times 2 = 4\) phút - Thời gian của nhóm [4;8) phút: \(4 \times 6 = 24\) phút - Thời gian của nhóm [8;12) phút: \(7 \times 10 = 70\) phút - Thời gian của nhóm [12;16) phút: \(4 \times 14 = 56\) phút - Thời gian của nhóm [16;20) phút: \(3 \times 18 = 54\) phút 2. Tính tổng số học sinh: - Tổng số học sinh: \(2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20\) học sinh 3. Tính thời gian trung bình: - Tổng thời gian của tất cả các học sinh: \(4 + 24 + 70 + 56 + 54 = 208\) phút - Thời gian trung bình: \(\frac{208}{20} = 10,4\) phút Vậy thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh là 10,4 phút. Đáp án đúng là: D. 10,4 Câu 9. Để tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=3$ và $q=-2$, ta sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Trong đó: - $u_1 = 3$ - $q = -2$ - $n = 10$ Thay các giá trị vào công thức: \[ S_{10} = 3 \cdot \frac{1 - (-2)^{10}}{1 - (-2)} \] Tính $(-2)^{10}$: \[ (-2)^{10} = 1024 \] Do đó: \[ S_{10} = 3 \cdot \frac{1 - 1024}{1 + 2} \] \[ S_{10} = 3 \cdot \frac{-1023}{3} \] \[ S_{10} = -1023 \] Vậy đáp án đúng là: C. $~S_{10} = -1023$. Câu 10. Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của tứ phân vị thứ ba: - Tổng số ngày là 20. - Vị trí của tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) được tính bằng công thức: \[ \text{Vị trí} = \frac{3}{4} \times n = \frac{3}{4} \times 20 = 15 \] - Vậy tứ phân vị thứ ba nằm ở vị trí thứ 15 trong dãy số đã sắp xếp. 2. Xác định khoảng chứa tứ phân vị thứ ba: - Dãy số liệu được chia thành các khoảng với tần số tương ứng: - [5; 7): 2 ngày - [7; 9): 7 ngày - [9; 11): 7 ngày - [11; 13): 3 ngày - [13; 15): 1 ngày - Tính tổng tần số từ đầu đến từng khoảng: - Từ [5; 7): 2 ngày - Từ [5; 9): 2 + 7 = 9 ngày - Từ [5; 11): 9 + 7 = 16 ngày - Vị trí thứ 15 nằm trong khoảng từ [9; 11). 3. Tính giá trị của tứ phân vị thứ ba: - Khoảng chứa \( Q_3 \) là [9; 11). - Lower bound \( L \) của khoảng này là 9. - Tần số của khoảng này là 7. - Khoảng cách giữa các giá trị trong khoảng là 2 (11 - 9 = 2). - Số lượng giá trị trước khoảng này là 9 (từ [5; 9)). - Áp dụng công thức tính \( Q_3 \): \[ Q_3 = L + \left( \frac{\text{Vị trí} - \text{Số lượng giá trị trước}}{\text{Tần số của khoảng}} \right) \times \text{Khoảng cách} \] \[ Q_3 = 9 + \left( \frac{15 - 9}{7} \right) \times 2 \] \[ Q_3 = 9 + \left( \frac{6}{7} \right) \times 2 \] \[ Q_3 = 9 + \frac{12}{7} \] \[ Q_3 = 9 + 1.7143 \approx 10.7143 \] Vậy tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gần nhất với giá trị 10.7143 triệu đồng.