Giúp mình với!

Câu 6: Để xác định hàm số có đồ thị như hình vẽ, ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho: A. \( y = x^3 - 3x - 1 \) B. \( y = -x^4 + 2x^2 - 1 \) C. \( y = x^4 - 2x^2 - 1 \) D. \( y = -x^3 + 3x - 1 \) Trước tiên, ta nhận thấy rằng đồ thị của hàm số có dạng cong và có hai điểm cực trị. Điều này loại trừ ngay các hàm số bậc 4 vì chúng thường có dạng đồ thị khác. Tiếp theo, ta kiểm tra các hàm số bậc 3 còn lại: 1. Hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \): - Ta tính đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Đặt \( y' = 0 \): \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra các giá trị: - \( y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \) - \( y(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 \) - Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), nhưng giá trị tại \( x = 1 \) là -3 và tại \( x = -1 \) là 1, không phù hợp với đồ thị. 2. Hàm số \( y = -x^3 + 3x - 1 \): - Ta tính đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \) - Đặt \( y' = 0 \): \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra các giá trị: - \( y(1) = -(1)^3 + 3 \cdot 1 - 1 = -1 + 3 - 1 = 1 \) - \( y(-1) = -(-1)^3 + 3 \cdot (-1) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \) - Đồ thị của hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), giá trị tại \( x = 1 \) là 1 và tại \( x = -1 \) là -3, phù hợp với đồ thị. Do đó, hàm số có đồ thị như hình vẽ là \( y = -x^3 + 3x - 1 \). Đáp án đúng là: D. \( y = -x^3 + 3x - 1 \). Câu 7: Để xác định các khẳng định về tiệm cận của hàm số \( y = f(x) \), chúng ta sẽ dựa vào các giới hạn đã cho trong đề bài. 1. Tiệm cận ngang: - Giới hạn khi \( x \to +\infty \): \( \lim_{x \to +\infty} y = 10 \) - Giới hạn khi \( x \to -\infty \): \( \lim_{x \to -\infty} y = 10 \) Từ hai giới hạn trên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến vô cùng dương hoặc vô cùng âm, giá trị của \( y \) đều tiến đến 10. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận ngang là \( y = 10 \). 2. Tiệm cận đứng: - Giới hạn khi \( x \to -2^+ \): \( \lim_{x \to -2^+} y = +\infty \) - Giới hạn khi \( x \to -2^- \): \( \lim_{x \to -2^-} y = -\infty \) Từ hai giới hạn trên, ta thấy rằng khi \( x \) tiến đến -2 từ bên phải, giá trị của \( y \) tiến đến dương vô cùng; và khi \( x \) tiến đến -2 từ bên trái, giá trị của \( y \) tiến đến âm vô cùng. Điều này cho thấy hàm số có tiệm cận đứng là \( x = -2 \). Vậy, hàm số \( y = f(x) \) có cả tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Do đó, khẳng định đúng là: D. Hàm số có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Câu 8: Trước tiên, ta xác định các vectơ đã cho: \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u}\) \(\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}\) \(\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}\) \(\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}\) Ta biết rằng tâm \(O\) của hình hộp nằm ở trung điểm của đường chéo \(AC'\) và \(CA'\). Do đó: \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{0}\) Tương tự, tâm \(I\) của hình bình hành \(ABCD\) nằm ở trung điểm của đường chéo \(AC\) và \(BD\). Do đó: \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\) \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}\) Bây giờ, ta cần tìm \(\overrightarrow{OI}\). Ta có: \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AI}\) Vì \(I\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), nên: \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\) \(\overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BD}\) Do đó: \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\) Ta cũng biết rằng: \(\overrightarrow{OA} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{AC'}\) \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{CC'}\) Vì \(CC'\) là đường thẳng đứng từ \(C\) lên \(C'\), nên: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{u} - \overrightarrow{CC'}\) Do đó: \(\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{u} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{u} - \overrightarrow{CC'}) = -\frac{1}{2} \overrightarrow{CC'}\) Tương tự, ta có: \(\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{CC'} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{DD'}\) Vì \(CC'\) và \(DD'\) là các đường thẳng đứng từ \(C\) và \(D\) lên \(C'\) và \(D'\), nên: \(\overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{DD'}\) Do đó: \(\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{CC'} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{DD'}\) Ta cũng biết rằng: \(\overrightarrow{CC'} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})\) \(\overrightarrow{DD'} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\) Do đó: \(\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}) \right)\) \(\overrightarrow{OI} = -\frac{1}{4} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\) Nhân cả hai vế với 2, ta được: \(2 \overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\) Vậy đáp án đúng là: B. \(2 \overrightarrow{OI} = -\frac{1}{2} (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\)