Bài 21. Chứng tỏ a) x^2-6x+10>0 với mọi x ; b)4y-y^2-5<0 với mọi y . Bài 22. Chứng minh giá trị của biểu thức 6x-x^2-10 luôn luôn âm với mọi giá trị của x . Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x...

Bài 21. a) Ta có: x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)^2 + 1 (x - 3)^2 ≥ 0 với mọi x nên (x - 3)^2 + 1 > 0 với mọi x Vậy x^2 - 6x + 10 > 0 với mọi x b) Ta có: 4y - y^2 - 5 = -(y^2 - 4y + 4) - 1 = -(y - 2)^2 - 1 (y - 2)^2 ≥ 0 với mọi y nên -(y - 2)^2 ≤ 0 với mọi y Do đó, -(y - 2)^2 - 1 < 0 với mọi y Vậy 4y - y^2 - 5 < 0 với mọi y Bài 22. Để chứng minh giá trị của biểu thức \(6x - x^2 - 10\) luôn luôn âm với mọi giá trị của \(x\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại biểu thức dưới dạng một phương trình bậc hai: \[ f(x) = -x^2 + 6x - 10 \] Bước 2: Xác định hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) trong phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c\): \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = -10 \] Bước 3: Tính giá trị của biệt thức \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = 6^2 - 4(-1)(-10) = 36 - 40 = -4 \] Bước 4: Vì \(D < 0\), phương trình bậc hai \(f(x) = -x^2 + 6x - 10\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số \(f(x)\) không cắt trục hoành. Bước 5: Xét dấu của hệ số \(a\): \[ a = -1 < 0 \] Do đó, đồ thị của hàm số \(f(x)\) mở ra phía dưới (như hình parabol hướng xuống). Bước 6: Kết luận: Vì \(D < 0\) và \(a < 0\), biểu thức \(6x - x^2 - 10\) luôn luôn âm với mọi giá trị của \(x\). Đáp số: Biểu thức \(6x - x^2 - 10\) luôn luôn âm với mọi giá trị của \(x\). Bài 23. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 + 10x + 28 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta viết lại biểu thức dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh. \[ x^2 + 10x + 28 = (x^2 + 10x + 25) + 3 \] \[ = (x + 5)^2 + 3 \] Bước 2: Xét giá trị của bình phương \((x + 5)^2\). - Bình phương của bất kỳ số nào cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0, tức là \((x + 5)^2 \geq 0\). Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. - Giá trị nhỏ nhất của \((x + 5)^2\) là 0, xảy ra khi \(x + 5 = 0\), tức là \(x = -5\). - Khi đó, giá trị của biểu thức \( (x + 5)^2 + 3 \) sẽ là \(0 + 3 = 3\). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( x^2 + 10x + 28 \) là 3, đạt được khi \(x = -5\). Đáp số: 3 Bài 24. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(5x^2 - 10x\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biểu thức cần tối ưu. Biểu thức: \(5x^2 - 10x\) Bước 2: Đưa biểu thức về dạng tổng bình phương. Ta nhận thấy rằng biểu thức \(5x^2 - 10x\) có thể được viết lại dưới dạng: \[5x^2 - 10x = 5(x^2 - 2x)\] Bước 3: Hoàn thiện bình phương. Ta thêm và bớt cùng một số trong biểu thức để hoàn thiện bình phương: \[5(x^2 - 2x + 1 - 1) = 5((x - 1)^2 - 1)\] \[= 5(x - 1)^2 - 5\] Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất. Nhận thấy rằng \((x - 1)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 vì đây là bình phương của một số thực. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \((x - 1)^2\) là 0 khi \(x = 1\). Khi \(x = 1\): \[5(x - 1)^2 - 5 = 5(1 - 1)^2 - 5 = 5 \cdot 0 - 5 = -5\] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(5x^2 - 10x\) là \(-5\). Đáp số: \(-5\) Bài 25. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = x - x^2 - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại biểu thức dưới dạng một phương trình bậc hai. \[ A = -x^2 + x - 1 \] Bước 2: Xác định hệ số \( a \), \( b \), và \( c \) trong phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c \). \[ a = -1, \quad b = 1, \quad c = -1 \] Bước 3: Tính giá trị của \( x \) tại đỉnh của parabol (điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số bậc hai). Công thức tính đỉnh của parabol là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a \) và \( b \) vào công thức: \[ x = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Thay giá trị \( x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. \[ A = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 \] \[ A = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \] \[ A = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} \] \[ A = \frac{-1 + 2 - 4}{4} \] \[ A = \frac{-3}{4} \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( x - x^2 - 1 \) là \( -\frac{3}{4} \). Đáp số: \( -\frac{3}{4} \) Bài 26. Để chứng minh rằng \((2n+3)^2 - (2n-1)^2\) chia hết cho 8 với \(n \in \mathbb{Z}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) để biến đổi biểu thức. \[ (2n+3)^2 - (2n-1)^2 = [(2n+3) - (2n-1)][(2n+3) + (2n-1)] \] Bước 2: Tính các biểu thức trong ngoặc. \[ [(2n+3) - (2n-1)] = 2n + 3 - 2n + 1 = 4 \] \[ [(2n+3) + (2n-1)] = 2n + 3 + 2n - 1 = 4n + 2 \] Bước 3: Thay kết quả vừa tính vào biểu thức ban đầu. \[ (2n+3)^2 - (2n-1)^2 = 4 \times (4n + 2) \] Bước 4: Nhân các biểu thức lại với nhau. \[ 4 \times (4n + 2) = 16n + 8 \] Bước 5: Ta thấy rằng \(16n + 8\) là một bội số của 8 vì nó có thể viết dưới dạng \(8(2n + 1)\). \[ 16n + 8 = 8(2n + 1) \] Vậy, \((2n+3)^2 - (2n-1)^2\) chia hết cho 8 với mọi \(n \in \mathbb{Z}\). Kết luận: Biểu thức \((2n+3)^2 - (2n-1)^2\) luôn chia hết cho 8 với mọi số nguyên \(n\).