Giúp mik với Câu 10,Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số đo góc,giữa hai đường thẳng A'B và B'C bằng,

Question

Giúp mik với Câu 10,Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số đo góc,giữa hai đường thẳng A'B và B'C bằng,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/ad870259e349489db646f87b579431ba.jpg />

Accepted Answer

Để tìm số đo góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ Oxyz:
   - Giả sử hình lập phương có cạnh dài $a$.
   - Điểm $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, $A'(0, 0, a)$, $B'(a, 0, a)$, $C'(a, a, a)$, $D'(0, a, a)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $A'B$ là $\overrightarrow{A'B} = B - A' = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a)$.
   - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $B'C$ là $\overrightarrow{B'C} = C - B' = (a, a, 0) - (a, 0, a) = (0, a, -a)$.

3. Tính tích vô hướng của hai vectơ:
   $$
   \overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{B'C} = (a, 0, -a) \cdot (0, a, -a) = a \cdot 0 + 0 \cdot a + (-a) \cdot (-a) = 0 + 0 + a^2 = a^2
   $$

4. Tính độ dài của hai vectơ:
   $$
   |\overrightarrow{A'B}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
   $$
   $$
   |\overrightarrow{B'C}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
   $$

5. Tính cosin của góc giữa hai vectơ:
   $$
   \cos \theta = \frac{\overrightarrow{A'B} \cdot \overrightarrow{B'C}}{|\overrightarrow{A'B}| \cdot |\overrightarrow{B'C}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}
   $$

6. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ
   $$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$ là $60^\circ$.