Lậo bảng biến thuên và tìm đồng buến nghịch buến

Để lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \) có mẫu số \( x - 1 \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Ta tính đạo hàm của hàm số \( y \): \[ y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm tới hạn Đặt \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \] Do đó, các điểm tới hạn là: \[ x_1 = 1 - \sqrt{2} \] \[ x_2 = 1 + \sqrt{2} \] Bước 4: Lập bảng biến thiên Chúng ta sẽ xét dấu của \( y' \) trên các khoảng xác định: - Khoảng \( (-\infty, 1 - \sqrt{2}) \) - Khoảng \( (1 - \sqrt{2}, 1) \) - Khoảng \( (1, 1 + \sqrt{2}) \) - Khoảng \( (1 + \sqrt{2}, +\infty) \) Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1 - \sqrt{2}) \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{0^2 - 2 \cdot 0 - 1}{(0 - 1)^2} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1 - \sqrt{2}, 1) \), chọn \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = \frac{(0.5)^2 - 2 \cdot 0.5 - 1}{(0.5 - 1)^2} = \frac{0.25 - 1 - 1}{0.25} = \frac{-1.75}{0.25} = -7 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1, 1 + \sqrt{2}) \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = \frac{2^2 - 2 \cdot 2 - 1}{(2 - 1)^2} = \frac{4 - 4 - 1}{1} = \frac{-1}{1} = -1 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1 + \sqrt{2}, +\infty) \), chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 - 1}{(3 - 1)^2} = \frac{9 - 6 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 > 0 \] Hàm số đồng biến. Kết luận - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, 1 - \sqrt{2}) \), \( (1 - \sqrt{2}, 1) \), và \( (1, 1 + \sqrt{2}) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1 + \sqrt{2}, +\infty) \). Bảng biến thiên: \[ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 1 - \sqrt{2} & 1 & 1 + \sqrt{2} & +\infty \\ \hline y' & - & - & - & + \\ \hline y & \searrow & \text{Cực tiểu} & \text{Không tồn tại} & \text{Cực đại} & \nearrow \\ \end{array} \]