Lập bảng biến thiên và tìm hàm số đồng biến nghịch biến $c)~y=\frac{2x-3}{x-5}$

Question

Timi · Accepted Answer

Để lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định
Hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ có mẫu số $ x - 5 \neq 0 $. Do đó, tập xác định của hàm số là:
$$ D = \mathbb{R} \setminus \{5\} $$

Bước 2: Tính đạo hàm
Ta tính đạo hàm của hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ bằng công thức đạo hàm của phân thức:
$$ y&#x27; = \frac{(2)(x-5) - (2x-3)(1)}{(x-5)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{2x - 10 - 2x + 3}{(x-5)^2} $$
$$ y&#x27; = \frac{-7}{(x-5)^2} $$

Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm
Do $ (x-5)^2 > 0 $ với mọi $ x \neq 5 $, nên $ y&#x27; = \frac{-7}{(x-5)^2} < 0 $ với mọi $ x \neq 5 $.

Bước 4: Lập bảng biến thiên
Ta lập bảng biến thiên để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số:

| $ x $       | $ -\infty $ | 5         | $ +\infty $ |
|----------------|----------------|-----------|----------------|
| $ y&#x27; $      | $ - $        | $ - $   | $ - $        |
| $ y $       | $ \searrow $ | $ \searrow $ | $ \searrow $ |

Kết luận
Hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, 5) $ và $ (5, +\infty) $.

Đáp số: Hàm số $ y = \frac{2x-3}{x-5} $ nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, 5) $ và $ (5, +\infty) $.