Giúp mình với!

Câu 1. 1/ a/ Ta có: $\left\{\begin{array}l2x-y=5\\3x+2y=4\end{array}\right.$ Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2, ta được: $\left\{\begin{array}l4x-2y=10\\3x+2y=4\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình lại, ta được: $7x = 14$ $x = 2$ Thay $x = 2$ vào phương trình $2x - y = 5$, ta được: $2 \times 2 - y = 5$ $4 - y = 5$ $y = -1$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, -1)$. b/ Ta có: $\left\{\begin{array}lx-3y=2\\-2x+5y=1\end{array}\right.$ Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2, ta được: $\left\{\begin{array}l2x-6y=4\\-2x+5y=1\end{array}\right.$ Cộng hai phương trình lại, ta được: $-y = 5$ $y = -5$ Thay $y = -5$ vào phương trình $x - 3y = 2$, ta được: $x - 3 \times (-5) = 2$ $x + 15 = 2$ $x = -13$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (-13, -5)$. c/ Ta có: $\left\{\begin{array}lx-y=-2\\2x-2y=8\end{array}\right.$ Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 2, ta được: $\left\{\begin{array}l2x-2y=-4\\2x-2y=8\end{array}\right.$ Ta thấy hai phương trình này mâu thuẫn nhau, do đó hệ phương trình vô nghiệm. 2/ Ta có: $m > n$ Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 2024, ta được: $2024m > 2024n$ Lấy cả hai vế trừ đi 2025, ta được: $2024m - 2025 > 2024n - 2025$ Vậy đã chứng minh được $2024m - 2025 > 2024n - 2025$. Câu 2. Đổi: 3 giờ 45 phút = 3,75 giờ Trong 1 giờ cả hai người làm được số phần bức tường là: $1 : 3,75 = \frac{4}{15}$ (bức tường) Trong ba giờ cả hai người làm được số phần bức tường là: $\frac{4}{15} \times 3 = \frac{4}{5}$ (bức tường) Phần bức tường còn lại là: $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ (bức tường) Trong 1 giờ người thứ hai làm được số phần bức tường là: $\frac{1}{5} : 2 = \frac{1}{10}$ (bức tường) Người thứ hai làm xong bức tường trong số giờ là: $1 : \frac{1}{10} = 10$ (giờ) Trong 1 giờ người thứ nhất làm được số phần bức tường là: $\frac{4}{15} - \frac{1}{10} = \frac{1}{6}$ (bức tường) Người thứ nhất làm xong bức tường trong số giờ là: $1 : \frac{1}{6} = 6$ (giờ) Đáp số: Người thứ nhất: 6 giờ Người thứ hai: 10 giờ Câu 3. Gọi số sản phẩm của tổ I là x (x > 0) Số sản phẩm của tổ II là y (y > 0) Theo đề bài ta có: x + y = 600 (1) 18% của x cộng 21% của y bằng 120 $\frac{18}{100} \times x + \frac{21}{100} \times y = 120$ 6 × x + 7 × y = 4000 (2) Nhân (1) với 6 rồi trừ cho (2) ta có: 6 × y - 7 × y = 600 × 6 - 4000 y = 400 Thay vào (1) ta có x = 200 Vậy số sản phẩm của tổ I là 200 sản phẩm, số sản phẩm của tổ II là 400 sản phẩm. Câu 4. a) $(2-3x)(4x+5)=0$ Ta có: $2-3x=0$ hoặc $4x+5=0$ $3x=2$ hoặc $4x=-5$ $x=\frac{2}{3}$ hoặc $x=-\frac{5}{4}$ Vậy phương trình có hai nghiệm: $x=\frac{2}{3}$ và $x=-\frac{5}{4}$ b) $3x-5< 7-2x$ $3x+2x< 7+5$ $5x< 12$ $x< \frac{12}{5}$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x< \frac{12}{5}$ c) $\frac{x-3}{5}< 6-\frac{1-2x}{3}$ $\frac{x-3}{5}< \frac{18-(1-2x)}{3}$ $\frac{x-3}{5}< \frac{18-1+2x}{3}$ $\frac{x-3}{5}< \frac{17+2x}{3}$ $(x-3)\times 3< (17+2x)\times 5$ $3x-9< 85+10x$ $3x-10x< 85+9$ $-7x< 94$ $x>\frac{-94}{7}$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x>\frac{-94}{7}$ d) $\frac{x}{x-1}+\frac{4x-5}{x^2-x}=1$ Điều kiện: $x\neq 1$ $\frac{x}{x-1}+\frac{4x-5}{x(x-1)}=1$ $\frac{x\times x+(4x-5)}{x(x-1)}=1$ $\frac{x^2+4x-5}{x(x-1)}=1$ $x^2+4x-5=x(x-1)$ $x^2+4x-5=x^2-x$ $4x+x-5=0$ $5x=5$ $x=1$ Vì $x=1$ không thỏa mãn điều kiện $x\neq 1$, nên phương trình vô nghiệm. Câu 5. a) Ta có $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5(cm)$ Diện tích tam giác ABC là $\frac{AB\times AC}{2}=\frac{3\times 4}{2}=6(cm^{2})$ Diện tích tam giác ABC cũng là $\frac{BC\times AH}{2}=\frac{5\times AH}{2}=6(cm^{2})$ Suy ra $AH=\frac{12}{5}(cm)$ Ta có tam giác AHB vuông tại H có $sinB=\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{12}{5}}{4}=\frac{3}{5}$ Tam giác ABC vuông tại A có $sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$ Suy ra $sinB=sinB$ nên $\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}$ Hay $AB\times AC=AH\times BC=\frac{12}{5}\times 5=12(cm^{2})$ b) Ta có tam giác AEH vuông tại E có $sinA=\frac{EH}{AH}$ Tam giác AFH vuông tại F có $sinA=\frac{FH}{AH}$ Suy ra $\frac{EH}{AH}=\frac{FH}{AH}$ hay $EH=FH$ Ta có tam giác AHE vuông tại E có $sinA=\frac{EH}{AE}$ Tam giác AHF vuông tại F có $sinA=\frac{FH}{AF}$ Suy ra $\frac{EH}{AE}=\frac{FH}{AF}$ hay $\frac{EH}{AE}=\frac{EH}{AF}$ Từ đó suy ra $AE=AF$ Ta có $AE\times AB=AF\times AC$ Câu 6. a) $(2x+5)(1-4x)=0$ $2x+5=0$ hoặc $1-4x=0$ $x = -\frac{5}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{4}$ b) $\frac{x+4}{x+1}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{15x}{x^2-3x-4}$ Điều kiện: $x \neq -1$ và $x \neq 4$ $\frac{x+4}{x+1}-\frac{x+1}{x-4}=\frac{15x}{(x+1)(x-4)}$ $\frac{(x+4)(x-4)-(x+1)^2}{(x+1)(x-4)}=\frac{15x}{(x+1)(x-4)}$ $(x+4)(x-4)-(x+1)^2 = 15x$ $x^2 - 16 - (x^2 + 2x + 1) = 15x$ $x^2 - 16 - x^2 - 2x - 1 = 15x$ $-17 = 17x$ $x = -1$ Do $x = -1$ không thỏa mãn điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. c) $13 - 5x > -3x + 9$ $13 - 9 > -3x + 5x$ $4 > 2x$ $x < 2$ d) $\frac{x+1}{3} + \frac{2x+1}{4} \leq \frac{5x+3}{6} + \frac{7+12x}{12}$ $\frac{4(x+1) + 3(2x+1)}{12} \leq \frac{2(5x+3) + 7+12x}{12}$ $4x + 4 + 6x + 3 \leq 10x + 6 + 7 + 12x$ $10x + 7 \leq 22x + 13$ $7 - 13 \leq 22x - 10x$ $-6 \leq 12x$ $x \geq -\frac{1}{2}$ Đáp số: a) $x = -\frac{5}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{4}$ b) Vô nghiệm c) $x < 2$ d) $x \geq -\frac{1}{2}$ Câu 7. Ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC theo hai cách khác nhau để tìm độ dài cạnh AB. Cách 1: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times CA \times CB \times \sin(\widehat{ACB})$ Cách 2: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times AB \times CH$ Trong đó, CH là đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB. Từ hai cách trên, ta có: $\frac{1}{2} \times CA \times CB \times \sin(\widehat{ACB}) = \frac{1}{2} \times AB \times CH$ Suy ra: $AB = \frac{CA \times CB \times \sin(\widehat{ACB})}{CH}$ Ta biết rằng $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Do đó: $AB = \frac{90 \times 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{CH}$ Để tính CH, ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC theo cách thứ nhất: Diện tích tam giác ABC = $\frac{1}{2} \times 90 \times 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 90 \times 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6750 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3375\sqrt{3}$ Vậy: $AB = \frac{90 \times 150 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3375\sqrt{3}} = \frac{90 \times 150}{2 \times 3375} = \frac{13500}{6750} = 2$ Vậy khoảng cách AB là 200 m (làm tròn đến hàng phần mười của mét). Đáp số: 200 m. Câu 8. a/ Giải tam giác vuông ABC: Ta có: $BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5(cm)$ $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}=0,8\Rightarrow \widehat{B}\approx 53^{\circ}13' $ $\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-53^{\circ}13'=36^{\circ}47'$ b/ Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE, CE: Ta có: $\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$ Suy ra: $BE=\frac{3}{7}BC=\frac{3}{7}\times 5=\frac{15}{7}(cm)$ $CE=BC-BE=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}(cm)$ c/ Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E trên các cạnh AB và AC. Tứ giác AMEN là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AMEN: Tứ giác AMEN là hình vuông vì có 3 góc vuông và hai cạnh kề với nhau bằng nhau. Ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AC}$ $\Rightarrow AE=\frac{AM\times AC}{AB}=\frac{AM\times 4}{3}$ Mà $AE^{2}=AM^{2}+MN^{2}=2\times AM^{2}$ $\Rightarrow (\frac{AM\times 4}{3})^{2}=2\times AM^{2}$ $\Rightarrow AM=\frac{3}{2\sqrt{2}}(cm)$ Diện tích của tứ giác AMEN là: $AM\times MN=(\frac{3}{2\sqrt{2}})^{2}=\frac{9}{8}(cm^{2})$