Giúp mik vs ạ

Câu 1. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x-1}$ tại điểm có hoành độ bằng 2, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2. \[ y(2) = \frac{2}{2-1} = 2 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(2, 2)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. \[ y' = \left(\frac{x}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm có hoành độ bằng 2. \[ y'(2) = \frac{-1}{(2-1)^2} = -1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $a = -1$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng $y = ax + b$. \[ y = -1 \cdot x + b \] Thay tọa độ điểm $(2, 2)$ vào phương trình trên để tìm $b$: \[ 2 = -1 \cdot 2 + b \] \[ 2 = -2 + b \] \[ b = 4 \] Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến hoàn chỉnh. \[ y = -x + 4 \] Bước 6: Tính giá trị của biểu thức $S = 4a - 5b$. \[ S = 4(-1) - 5(4) = -4 - 20 = -24 \] Vậy giá trị của biểu thức $S$ là $\boxed{-24}$. Câu 2. Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$ là đường thẳng $x=a$, trong đó $a$ là giá trị làm cho mẫu số bằng 0. \[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \] Vậy đường tiệm cận đứng là $x = 4$. Do đó, $a = 4$. 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$ là đường thẳng $y=b$, trong đó $b$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x}} = 3 \] Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 3$. Do đó, $b = 3$. 3. Tính giá trị của biểu thức $C = 5a + 6b$: Thay $a = 4$ và $b = 3$ vào biểu thức $C = 5a + 6b$: \[ C = 5 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38 \] Vậy giá trị của biểu thức $C$ là $\boxed{38}$. Câu 3. Để tìm lợi nhuận trung bình không vượt quá bao nhiêu triệu đồng, chúng ta cần tính hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$ và tìm giá trị lớn nhất của nó. Bước 1: Tính hàm lợi nhuận $P(x)$ \[ P(x) = R(x) - C(x) \] \[ P(x) = 75,5x - (25,5x + 1000) \] \[ P(x) = 75,5x - 25,5x - 1000 \] \[ P(x) = 50x - 1000 \] Bước 2: Tính hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$ \[ \overline{P}(x) = \frac{P(x)}{x} \] \[ \overline{P}(x) = \frac{50x - 1000}{x} \] \[ \overline{P}(x) = 50 - \frac{1000}{x} \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$ Để tìm giá trị lớn nhất của $\overline{P}(x)$, chúng ta cần tìm giới hạn của $\overline{P}(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \left( 50 - \frac{1000}{x} \right) = 50 \] Do đó, lợi nhuận trung bình không vượt quá 50 triệu đồng. Đáp số: 50 triệu đồng. Câu 4. Đầu tiên, ta cần tìm tần số góc \(\omega\) của con lắc lò xo. Biết rằng chu kỳ \(T = 4\) giây, ta có: \[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \] Phương trình chuyển động của vật là: \[ x(t) = A \cos(\omega t) \] Biết rằng biên độ \(A = 0,24\) m, ta thay vào phương trình: \[ x(t) = 0,24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] Ta cần tìm thời gian \(t\) để vật chuyển động từ vị trí ban đầu (với \(x(0) = 0,24\) m) đến vị trí \(x = -0,12\) m. Thay \(x = -0,12\) vào phương trình chuyển động: \[ -0,12 = 0,24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) \] Chia cả hai vế cho 0,24: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) = -0,5 \] Biết rằng \(\cos(\theta) = -0,5\) khi \(\theta = \frac{2\pi}{3}\) hoặc \(\theta = \frac{4\pi}{3}\). Ta chọn giá trị nhỏ nhất để tìm thời gian tối thiểu: \[ \frac{\pi}{2} t = \frac{2\pi}{3} \] Giải phương trình này: \[ t = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ giây} \] Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x = -0,12\) m là khoảng 1,3 giây (làm tròn đến hàng phần mười). Đáp số: 1,3 giây. Câu 5. Trước tiên, ta sẽ biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AF}$. Do $MC = 2MA$, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] Mặt khác, ta biết rằng: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Vậy: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \] Tương tự, do $NF = 2NB$, ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BF} \] Mặt khác, ta biết rằng: \[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} \] Vậy: \[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) \] Bây giờ, ta sẽ tìm vectơ $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AF}) \] \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AF} \] So sánh với $\overrightarrow{MN} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AD} + c\overrightarrow{AF}$, ta có: \[ a = -\frac{2}{3}, \quad b = -\frac{1}{3}, \quad c = \frac{1}{3} \] Cuối cùng, ta tính giá trị của $12a - 3b + 6c$: \[ 12a - 3b + 6c = 12 \left( -\frac{2}{3} \right) - 3 \left( -\frac{1}{3} \right) + 6 \left( \frac{1}{3} \right) \] \[ = 12 \left( -\frac{2}{3} \right) + 1 + 2 \] \[ = -8 + 1 + 2 \] \[ = -5 \] Vậy giá trị của $12a - 3b + 6c$ là $-5$. Câu 6. Để tìm tọa độ của điểm B trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta cần sử dụng tính chất của hình hộp, cụ thể là các vectơ cạnh đối diện bằng nhau. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm đã biết: - A(4; 6; -5) - D(5; 7; -4) - C(5; 6; -4) - D'(2; 0; 2) Bước 2: Tìm vectơ AD và vectơ DC: - Vectơ AD = D - A = (5 - 4, 7 - 6, -4 + 5) = (1, 1, 1) - Vectơ DC = C - D = (5 - 5, 6 - 7, -4 + 4) = (0, -1, 0) Bước 3: Tìm tọa độ của điểm B bằng cách sử dụng tính chất của hình hộp: - Vì AB = DC, nên B = A + DC = (4, 6, -5) + (0, -1, 0) = (4, 5, -5) Bước 4: Xác định tọa độ của điểm B: - B(4, 5, -5) Bước 5: Tính giá trị của 3t - b + c: - Trong tọa độ của B(4, 5, -5), ta có a = 4, b = 5, c = -5. - Do đó, 3t - b + c = 3 × 4 - 5 - 5 = 12 - 5 - 5 = 2 Vậy, giá trị của 3t - b + c là 2.