Câu 1.
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x-1}$ tại điểm có hoành độ bằng 2, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính giá trị của hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2.
\[ y(2) = \frac{2}{2-1} = 2 \]
Vậy điểm tiếp xúc là $(2, 2)$.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó.
\[ y' = \left(\frac{x}{x-1}\right)' = \frac{(x-1) - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} \]
Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm có hoành độ bằng 2.
\[ y'(2) = \frac{-1}{(2-1)^2} = -1 \]
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $a = -1$.
Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến dưới dạng $y = ax + b$.
\[ y = -1 \cdot x + b \]
Thay tọa độ điểm $(2, 2)$ vào phương trình trên để tìm $b$:
\[ 2 = -1 \cdot 2 + b \]
\[ 2 = -2 + b \]
\[ b = 4 \]
Bước 5: Viết phương trình tiếp tuyến hoàn chỉnh.
\[ y = -x + 4 \]
Bước 6: Tính giá trị của biểu thức $S = 4a - 5b$.
\[ S = 4(-1) - 5(4) = -4 - 20 = -24 \]
Vậy giá trị của biểu thức $S$ là $\boxed{-24}$.
Câu 2.
Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm đường tiệm cận đứng:
Đường tiệm cận đứng của hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$ là đường thẳng $x=a$, trong đó $a$ là giá trị làm cho mẫu số bằng 0.
\[
x - 4 = 0 \implies x = 4
\]
Vậy đường tiệm cận đứng là $x = 4$. Do đó, $a = 4$.
2. Tìm đường tiệm cận ngang:
Đường tiệm cận ngang của hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$ là đường thẳng $y=b$, trong đó $b$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng.
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 2}{x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{1 - \frac{4}{x}} = 3
\]
Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 3$. Do đó, $b = 3$.
3. Tính giá trị của biểu thức $C = 5a + 6b$:
Thay $a = 4$ và $b = 3$ vào biểu thức $C = 5a + 6b$:
\[
C = 5 \cdot 4 + 6 \cdot 3 = 20 + 18 = 38
\]
Vậy giá trị của biểu thức $C$ là $\boxed{38}$.
Câu 3.
Để tìm lợi nhuận trung bình không vượt quá bao nhiêu triệu đồng, chúng ta cần tính hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$ và tìm giá trị lớn nhất của nó.
Bước 1: Tính hàm lợi nhuận $P(x)$
\[ P(x) = R(x) - C(x) \]
\[ P(x) = 75,5x - (25,5x + 1000) \]
\[ P(x) = 75,5x - 25,5x - 1000 \]
\[ P(x) = 50x - 1000 \]
Bước 2: Tính hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$
\[ \overline{P}(x) = \frac{P(x)}{x} \]
\[ \overline{P}(x) = \frac{50x - 1000}{x} \]
\[ \overline{P}(x) = 50 - \frac{1000}{x} \]
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trung bình $\overline{P}(x)$
Để tìm giá trị lớn nhất của $\overline{P}(x)$, chúng ta cần tìm giới hạn của $\overline{P}(x)$ khi $x$ tiến đến vô cùng:
\[ \lim_{x \to \infty} \left( 50 - \frac{1000}{x} \right) = 50 \]
Do đó, lợi nhuận trung bình không vượt quá 50 triệu đồng.
Đáp số: 50 triệu đồng.
Câu 4.
Đầu tiên, ta cần tìm tần số góc \(\omega\) của con lắc lò xo. Biết rằng chu kỳ \(T = 4\) giây, ta có:
\[
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}
\]
Phương trình chuyển động của vật là:
\[
x(t) = A \cos(\omega t)
\]
Biết rằng biên độ \(A = 0,24\) m, ta thay vào phương trình:
\[
x(t) = 0,24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)
\]
Ta cần tìm thời gian \(t\) để vật chuyển động từ vị trí ban đầu (với \(x(0) = 0,24\) m) đến vị trí \(x = -0,12\) m. Thay \(x = -0,12\) vào phương trình chuyển động:
\[
-0,12 = 0,24 \cos\left(\frac{\pi}{2} t\right)
\]
Chia cả hai vế cho 0,24:
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2} t\right) = -0,5
\]
Biết rằng \(\cos(\theta) = -0,5\) khi \(\theta = \frac{2\pi}{3}\) hoặc \(\theta = \frac{4\pi}{3}\). Ta chọn giá trị nhỏ nhất để tìm thời gian tối thiểu:
\[
\frac{\pi}{2} t = \frac{2\pi}{3}
\]
Giải phương trình này:
\[
t = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{4}{3} \approx 1,33 \text{ giây}
\]
Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x = -0,12\) m là khoảng 1,3 giây (làm tròn đến hàng phần mười).
Đáp số: 1,3 giây.
Câu 5.
Trước tiên, ta sẽ biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AF}$.
Do $MC = 2MA$, ta có:
\[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \]
Mặt khác, ta biết rằng:
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \]
Vậy:
\[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \]
Tương tự, do $NF = 2NB$, ta có:
\[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BF} \]
Mặt khác, ta biết rằng:
\[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} \]
Vậy:
\[ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) \]
Bây giờ, ta sẽ tìm vectơ $\overrightarrow{MN}$:
\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) \]
\[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(-2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AF}) \]
\[ \overrightarrow{MN} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AF} \]
So sánh với $\overrightarrow{MN} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AD} + c\overrightarrow{AF}$, ta có:
\[ a = -\frac{2}{3}, \quad b = -\frac{1}{3}, \quad c = \frac{1}{3} \]
Cuối cùng, ta tính giá trị của $12a - 3b + 6c$:
\[ 12a - 3b + 6c = 12 \left( -\frac{2}{3} \right) - 3 \left( -\frac{1}{3} \right) + 6 \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ = 12 \left( -\frac{2}{3} \right) + 1 + 2 \]
\[ = -8 + 1 + 2 \]
\[ = -5 \]
Vậy giá trị của $12a - 3b + 6c$ là $-5$.
Câu 6.
Để tìm tọa độ của điểm B trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta cần sử dụng tính chất của hình hộp, cụ thể là các vectơ cạnh đối diện bằng nhau.
Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm đã biết:
- A(4; 6; -5)
- D(5; 7; -4)
- C(5; 6; -4)
- D'(2; 0; 2)
Bước 2: Tìm vectơ AD và vectơ DC:
- Vectơ AD = D - A = (5 - 4, 7 - 6, -4 + 5) = (1, 1, 1)
- Vectơ DC = C - D = (5 - 5, 6 - 7, -4 + 4) = (0, -1, 0)
Bước 3: Tìm tọa độ của điểm B bằng cách sử dụng tính chất của hình hộp:
- Vì AB = DC, nên B = A + DC = (4, 6, -5) + (0, -1, 0) = (4, 5, -5)
Bước 4: Xác định tọa độ của điểm B:
- B(4, 5, -5)
Bước 5: Tính giá trị của 3t - b + c:
- Trong tọa độ của B(4, 5, -5), ta có a = 4, b = 5, c = -5.
- Do đó, 3t - b + c = 3 × 4 - 5 - 5 = 12 - 5 - 5 = 2
Vậy, giá trị của 3t - b + c là 2.