Chhchchjchcjxj

Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi dựa vào thông tin đã cho và đồ thị hàm số. a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \). Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + 2}{x - b} \) là \( x = b \). Do đó, ta có: \[ b = 1 \] b) Đồ thị hàm số đi qua điểm \( (0;1) \). Thay \( x = 0 \) và \( y = 1 \) vào phương trình hàm số: \[ 1 = \frac{a \cdot 0 + 2}{0 - 1} \] \[ 1 = \frac{2}{-1} \] \[ 1 = -2 \] (sai) Do đó, ta thấy rằng có sự nhầm lẫn trong việc thay số. Ta cần kiểm tra lại: \[ 1 = \frac{2}{-1} \] \[ 1 = -2 \] (sai) Như vậy, ta cần kiểm tra lại dữ liệu đã cho hoặc có thể có lỗi trong đề bài. c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty;0) \). Để kiểm tra tính chất nghịch biến của hàm số, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{ax + 2}{x - 1} \right)' \] \[ y' = \frac{(ax + 2)'(x - 1) - (ax + 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{a(x - 1) - (ax + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{ax - a - ax - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-a - 2}{(x - 1)^2} \] Đạo hàm \( y' \) phải nhỏ hơn 0 để hàm số nghịch biến: \[ \frac{-a - 2}{(x - 1)^2} < 0 \] Vì \( (x - 1)^2 > 0 \) cho mọi \( x \neq 1 \), ta có: \[ -a - 2 < 0 \] \[ -a < 2 \] \[ a > -2 \] d) Biểu thức \( P = a - 2b \) là -4. Ta đã biết \( b = 1 \), do đó: \[ P = a - 2 \cdot 1 \] \[ P = a - 2 \] Theo đề bài, \( P = -4 \): \[ a - 2 = -4 \] \[ a = -2 \] Tuy nhiên, từ phần c) ta đã suy ra \( a > -2 \), nên có mâu thuẫn. Do đó, cần kiểm tra lại dữ liệu đã cho hoặc có thể có lỗi trong đề bài. Kết luận: - \( b = 1 \) - \( a = -2 \) (nhưng mâu thuẫn với phần c)) - \( P = -4 \) Do đó, cần kiểm tra lại dữ liệu đã cho hoặc có thể có lỗi trong đề bài. Câu 2: a) Đúng vì hàm số có tiệm cận đứng là $x=2.$ b) Đúng vì hàm số có cực đại và cực tiểu. c) Sai vì giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-1.$ d) Đúng vì phương trình $2f(x)-1=0$ có ba nghiệm. Câu 3: a) Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$ và $(1;+\infty)$ b) Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ và giá trị cực đại là $f(0)=0$ c) Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất bằng 1 trên khoảng $(-\infty;1)$ d) Sai vì công thức xác định hàm số là $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. Vậy đáp án đúng là d. Câu 4. a) Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty;1)$ và $(3;+\infty)$ Lập luận: - Trên khoảng $(-\infty;1)$, giá trị của hàm số tăng dần từ $-\infty$ đến 0, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $(3;+\infty)$, giá trị của hàm số tăng dần từ 2 đến $+\infty$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng này. b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3. Lập luận: - Điểm cực đại: Tại $x=1$, giá trị của hàm số đạt cực đại là 0. - Điểm cực tiểu: Tại $x=3$, giá trị của hàm số đạt cực tiểu là 2. - Điểm cực đại: Tại $x=5$, giá trị của hàm số đạt cực đại là 4. Do đó, hàm số có 3 điểm cực trị. c) Hàm số $y=f(x)$ có giá trị nhỏ nhất bằng 0. Lập luận: - Trên khoảng $(-\infty;1)$, giá trị của hàm số giảm dần từ $-\infty$ đến 0. - Trên khoảng $(1;3)$, giá trị của hàm số tăng dần từ 0 đến 2. - Trên khoảng $(3;5)$, giá trị của hàm số giảm dần từ 2 đến 0. - Trên khoảng $(5;+\infty)$, giá trị của hàm số tăng dần từ 0 đến $+\infty$. Như vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt tại $x=1$ và $x=5$. d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận. Lập luận: - Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng vì hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$. - Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang vì khi $x \to -\infty$, giá trị của hàm số không tiến tới một hằng số cố định nào mà tiến tới $-\infty$, và khi $x \to +\infty$, giá trị của hàm số cũng không tiến tới một hằng số cố định nào mà tiến tới $+\infty$. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng điều kiện một. a) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2;-2).$ Điều kiện để $(2;-2)$ là điểm cực tiểu: - $y'(2) = 0$ - $y''(2) > 0$ Tính đạo hàm: \[ y' = 3ax^2 + 2bx \] \[ y'' = 6ax + 2b \] Thay vào: \[ y'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) = 12a + 4b = 0 \] \[ y''(2) = 6a(2) + 2b = 12a + 2b > 0 \] Giải hệ phương trình: \[ 12a + 4b = 0 \Rightarrow b = -3a \] \[ 12a + 2(-3a) > 0 \Rightarrow 12a - 6a > 0 \Rightarrow 6a > 0 \Rightarrow a > 0 \] Kiểm tra giá trị tại điểm $(2;-2)$: \[ y(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + a + d = 8a + 4b + a + d = 9a + 4b + d = -2 \] \[ 9a + 4(-3a) + d = -2 \Rightarrow 9a - 12a + d = -2 \Rightarrow -3a + d = -2 \Rightarrow d = 3a - 2 \] Do đó, nếu $a > 0$, $b = -3a$, và $d = 3a - 2$, thì điểm $(2;-2)$ là điểm cực tiểu. b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;1)$ và $(2;+\infty).$ Điều kiện để hàm số đồng biến: \[ y' > 0 \text{ trên } (-\infty;1) \text{ và } (2;+\infty) \] Từ $y' = 3ax^2 + 2bx$, thay $b = -3a$: \[ y' = 3ax^2 + 2(-3a)x = 3ax^2 - 6ax = 3a(x^2 - 2x) \] Phân tích: \[ y' = 3a(x)(x - 2) \] Để $y' > 0$ trên $(-\infty;1)$ và $(2;+\infty)$: - $3a > 0 \Rightarrow a > 0$ - $(x)(x - 2) > 0$ trên $(-\infty;1)$ và $(2;+\infty)$ Do đó, điều kiện này cũng đúng khi $a > 0$. c) Hệ số $c=0.$ Trong hàm số $y = ax^3 + bx^2 + a + d$, không có hệ số $c$. Do đó, điều kiện này luôn đúng. d) Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt. Điều kiện để đường thẳng $y = -1$ cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt: \[ ax^3 + bx^2 + a + d = -1 \] \[ ax^3 + bx^2 + a + d + 1 = 0 \] Thay $b = -3a$ và $d = 3a - 2$: \[ ax^3 - 3ax^2 + a + 3a - 2 + 1 = 0 \] \[ ax^3 - 3ax^2 + 4a - 1 = 0 \] Để phương trình này có ba nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra tính chất của đa thức bậc ba. Điều này đòi hỏi phân tích thêm về các nghiệm của phương trình, nhưng dựa trên các điều kiện đã cho, ta thấy rằng nếu $a > 0$, thì phương trình có thể có ba nghiệm phân biệt. Kết luận: - a) Đúng khi $a > 0$, $b = -3a$, và $d = 3a - 2$. - b) Đúng khi $a > 0$. - c) Luôn đúng vì không có hệ số $c$. - d) Có thể đúng nếu phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt. Vậy, tất cả các điều kiện đều có thể đúng trong trường hợp $a > 0$.