giúp mình với

Câu 13. Ta xét từng mệnh đề: A. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ - Đây là công thức đúng khi hai vectơ cùng hướng. Vì $\cos(0) = 1$, nên $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(0) = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$. B. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ - Đây là công thức đúng khi hai vectơ vuông góc với nhau. Nhưng trong bài này, hai vectơ cùng hướng, nên không phải là trường hợp này. C. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -1$ - Đây là công thức sai vì tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng không thể là -1. D. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ - Đây là công thức đúng khi hai vectơ ngược hướng. Nhưng trong bài này, hai vectơ cùng hướng, nên không phải là trường hợp này. Vậy mệnh đề đúng là: A. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ Đáp án: A. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ Câu 14. Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta xét từng vectơ theo từng cạnh và mặt phẳng của hình hộp chữ nhật. A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh C đến đỉnh D. - Trong hình hộp chữ nhật, AB và CD là hai cạnh song song và bằng nhau, nhưng chúng không cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$. B. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C'X}$ - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh C. - $\overrightarrow{C'X}$ là vectơ chỉ từ đỉnh C' đến đỉnh X (X không phải là đỉnh của hình hộp chữ nhật). - Vì X không phải là đỉnh của hình hộp chữ nhật, nên $\overrightarrow{C'X}$ không tồn tại trong ngữ cảnh này. Do đó, $\overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{C'X}$. C. $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$ - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh A'. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh B đến đỉnh B'. - Trong hình hộp chữ nhật, AA' và BB' là hai cạnh đứng thẳng đứng và bằng nhau, cùng hướng. Do đó, $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$. D. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD}$ - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh B đến đỉnh D. - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ chỉ từ đỉnh B đến đỉnh D. - Đây là cùng một vectơ, do đó $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD}$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có đáp án C là đúng. Đáp án: C. $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}$. Câu 15. Để tìm được vectơ $\overrightarrow{AG}$, ta cần xác định vị trí của điểm G trong tam giác BCD. Trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tính từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Trước tiên, ta xác định vectơ $\overrightarrow{BG}$: - Điểm G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó $\overrightarrow{BG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD})$. Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} \] Do đó: \[ \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3} ((\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a})) = \frac{1}{3} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \] Tiếp theo, ta xác định vectơ $\overrightarrow{AG}$: \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \] Rút gọn biểu thức trên: \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{c} - \frac{2}{3} \overrightarrow{a} = \frac{1}{3} \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{c} \] Như vậy: \[ \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$. Câu 16. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.EFGH, các cạnh AB và EG là hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Để tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$, ta cần xác định vị trí của chúng trong không gian. 1. Xác định các điểm: - Điểm A là đỉnh của hình lập phương. - Điểm B nằm trên cùng một cạnh với A. - Điểm E nằm trên đỉnh đối diện với A. - Điểm G nằm trên đỉnh đối diện với B. 2. Xác định vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ từ điểm A đến điểm B. - Vectơ $\overrightarrow{EG}$ là vectơ chỉ từ điểm E đến điểm G. 3. Xác định góc giữa hai vectơ: - Trong hình lập phương, các cạnh đều vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. - Ta có thể vẽ một tam giác đều với các cạnh là các đường chéo của các mặt phẳng của hình lập phương. 4. Xác định góc: - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ là góc giữa hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. - Trong hình lập phương, góc giữa hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau là 90 độ. Do đó, góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$ là $90^0$. Đáp án đúng là: A. $90^0$. Câu 17. Trước tiên, ta xét tính chất của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong hình bình hành, ta có các tính chất sau: 1. Các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 2. Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Ta sẽ sử dụng các tính chất này để kiểm tra các khẳng định đã cho. Xét khẳng định A: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$ - Ta có $\overrightarrow{SA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{SD} = \overrightarrow{d}$. - Vì ABCD là hình bình hành, nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. - Ta có $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$. - Ta cũng có $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{d}$. - Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, nên $\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{d}$. - Điều này suy ra $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$. Do đó, khẳng định A là đúng. Xét khẳng định B: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} = \overrightarrow{c}$ - Ta thấy rằng tổng của các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy không phải là vectơ $\overrightarrow{c}$, mà là vectơ khác. Do đó, khẳng định B là sai. Xét khẳng định C: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{a}$, trong khi $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ là tổng của hai vectơ khác nhau. Do đó, khẳng định C là sai. Xét khẳng định D: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}$ - Ta thấy rằng tổng của các vectơ từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy không phải là tổng của hai vectơ khác nhau. Do đó, khẳng định D là sai. Vậy khẳng định đúng là: $\textcircled{A)}~\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}$. Câu 18. Ta có: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ 48^2 = 26^2 + 28^2 + 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ 2304 = 676 + 784 + 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ 2304 = 1460 + 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2304 - 1460 \] \[ 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 844 \] \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 422 \] Bây giờ, ta tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 26^2 + 28^2 - 2 \cdot 422 \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 676 + 784 - 844 \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1460 - 844 \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 616 \] \[ |\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{616} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ là $\sqrt{616}$. Đáp án đúng là: B. $\sqrt{616}$. Câu 19. Ta xét từng khẳng định: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{DB})$ - $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}$ Nhìn vào hai véc-tơ này, ta thấy không có sự tương đồng rõ ràng giữa chúng, do đó khẳng định này không đúng. B. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ - Ta có $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$ - $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC})$ Nhìn vào hai véc-tơ này, ta thấy không có sự tương đồng rõ ràng giữa chúng, do đó khẳng định này không đúng. C. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$ - Ta có $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$ - $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD})$ Nhìn vào hai véc-tơ này, ta thấy không có sự tương đồng rõ ràng giữa chúng, do đó khẳng định này không đúng. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CA}$ - Ta có $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ - $\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BD} + (-\overrightarrow{AC})$ Ta thấy rằng $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, do đó: $-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{BC})$ $\overrightarrow{BD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} - (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})$ Nhìn vào hai véc-tơ này, ta thấy chúng giống nhau, do đó khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CA}$. Câu 20. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta xét các vectơ sau: A. $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ B. $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ C. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ D. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ - Trong hình hộp, đoạn thẳng AD và BC song song và bằng nhau, do đó $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ là đúng. - Mệnh đề B: $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ - Cũng giống như trên, đoạn thẳng BC và AD song song và bằng nhau, do đó $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ là đúng. - Mệnh đề C: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ - Trong hình hộp, đoạn thẳng AB và CD song song và bằng nhau, do đó $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là đúng. - Mệnh đề D: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ - Đoạn thẳng AB và DC không song song và không bằng nhau, vì AB nằm ở mặt đáy còn DC nằm ở mặt bên. Do đó, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ là sai. Vậy mệnh đề sai là: D. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Câu 21. Trước tiên, ta xét từng vectơ trong tổng $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}$. 1. $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là vectơ chỉ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $B'$ của hình hộp. 2. $\overrightarrow{A^\prime D^\prime}$ là vectơ chỉ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $D'$ của hình hộp. 3. $\overrightarrow{A^\prime A}$ là vectơ chỉ từ đỉnh $A'$ xuống đỉnh $A$ của hình hộp. Ta có thể sử dụng tính chất của hình hộp để đơn giản hóa tổng này. Trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau, do đó: - $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = \overrightarrow{AB}$ - $\overrightarrow{A^\prime D^\prime} = \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{A^\prime A} = -\overrightarrow{AA^\prime}$ Tổng $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AA^\prime} \] Trong hình hộp, $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ chỉ từ đỉnh $A$ lên đỉnh $A'$. Do đó, $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ chỉ từ đáy lên đỉnh của hình hộp. Ta nhận thấy rằng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ chính là vectơ chỉ từ đỉnh $A$ đến đỉnh $C$ của đáy hình hộp, tức là $\overrightarrow{AC}$. Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] Vậy tổng $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} + \overrightarrow{A^\prime D^\prime} + \overrightarrow{A^\prime A}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AA^\prime} \] Nhưng vì $\overrightarrow{AA^\prime}$ là vectơ chỉ từ đáy lên đỉnh, nên khi trừ đi $\overrightarrow{AA^\prime}$, ta sẽ có vectơ chỉ từ đỉnh $A'$ đến đỉnh $C'$ của hình hộp, tức là $\overrightarrow{A^\prime C}$. Do đó, đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{A^\prime C}$. Câu 22. Ta có $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=-|\overrightarrow a||\overrightarrow b|.$ $\Rightarrow |\overrightarrow a||\overrightarrow b|\cos \alpha =-|\overrightarrow a||\overrightarrow b|$ $\Rightarrow \cos \alpha =-1$ $\Rightarrow \alpha =180^0.$ Đáp án đúng: A. $~\alpha=180^0.$ Câu 23. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có các cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ cùng phương với các vectơ có cùng hướng và độ dài như nó. A. $\overrightarrow{CD}$: Vectơ này ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, vì CD song song và bằng AB nhưng ngược chiều. B. $\overrightarrow{BC}$: Vectơ này không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, vì BC và AB không song song. C. $\overrightarrow{AD}$: Vectơ này cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, vì AD song song và bằng AB. D. $\overrightarrow{AC}$: Vectơ này không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, vì AC và AB không song song. Vậy vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AD}$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AD}$.