CMR : ( 2n+1 )^2 - ( 2m+1 )^2 chia hết cho 8 với mọi n,m thuộc Z

Để chứng minh $$ chia hết cho 8 với mọi n, m thuộc Z, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng cách chứng minh hai vế của phương trình đều chia hết cho 8.

Trước tiên, ta xét vế trái của phương trình: $$. Đây là phép toán lấy dư của 2 cho $$. Vì 2n+1 luôn là số lẻ, nên $$ sẽ luôn chia hết cho 2. Tuy nhiên, ta cần chứng minh nó chia hết cho 8.

Xét $$ với k là số nguyên. Khi đó, ta có $$ hoặc $$. Trong cả hai trường hợp, ta có $$ hoặc $$. Do đó, $$ hoặc $$. Vì n là số nguyên, nên $$.

Vậy, $$ chia hết cho 8 với mọi n thuộc Z.

Tiếp theo, ta xét vế phải của phương trình: $$. Tương tự như trên, ta có $$ chia hết cho 8 với mọi m thuộc Z.

Cuối cùng, ta xét sự khác nhau giữa hai vế của phương trình: $$. Vì cả hai vế đều chia hết cho 8, nên sự khác nhau giữa chúng cũng chia hết cho 8.

Vậy, $$ chia hết cho 8 với mọi n, m thuộc Z.