Một bức tường cao 2m nằm song song với một tòa nhà 2m , người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường gác qua bức tường chạm vào tòa nhà hỏi chiều dài tối thiểu của thang là bao nhiêu m ? ,-15

Question

Một bức tường cao 2m nằm song song với  một tòa nhà 2m , người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường gác qua bức tường chạm vào tòa nhà hỏi chiều dài tối thiểu của thang là bao nhiêu m ? <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/b35d49cf8a1147428c9fbfc3b5dae06a.jpg />,-15

tlinh · Accepted Answer

Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang đến chân tường là x (x>0) như trong hình vẽ
Chiều dài cái thang là AD
Gọi góc tạo bởi cái thang và mặt đất là $\displaystyle \alpha $
Khi đó ta có: $\displaystyle an \alpha =\frac{BC}{AC} =\frac{DE}{AE}$ suy ra $\displaystyle \frac{2}{x} =\frac{DE}{x+2} \Rightarrow DE=\frac{2( x+2)}{x}$
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ADE vuông tại E ta được:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
AD^{2} =AE^{2} +DE^{2} =( x+2)^{2} +\frac{4( x+2)^{2}}{x^{2}} =\frac{x^{2}( x+2)^{2} +4( x+2)^{2}}{x^{2}}\
=\frac{x^{4} +4x^{3} +8x^{2} +16x+16}{x^{2}}
\end{array}$
Đặt $\displaystyle f( x) =\frac{x^{4} +4x^{3} +8x^{2} +16x+16}{x^{2}}$
Chiều dài cái thang ngắn nhất $\displaystyle \Rightarrow AD^{2}$ đạt GTNN $\displaystyle \Rightarrow $ hàm số $\displaystyle y=f( x)$ đạt GTNN
Ta có: $\displaystyle f'( x) =\frac{2x^{4} +4x^{3} -16x-32}{x^{3}}$
$\displaystyle f'( x) =0$ khi $\displaystyle 2x^{4} +4x^{3} -16x-32=0\ $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Rightarrow ( x-2)\left( 2x^{3} +8x^{2} +16x+16 ight) =0\
\Rightarrow ( x-2)( x+2)\left( 2x^{2} +4x+8 ight) =0\ \
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x=2 & \
x=-2 &
\end{array} ight.
\end{array}$
Với $\displaystyle x=2$ thì chiều dài cái thang ngắn nhất
$\displaystyle AD^{2} =f( x) =32\Rightarrow AD=\sqrt{32} =4\sqrt{2}$ m

Timi · Answer

Gọi độ dài thang là $l$, góc giữa thang và mặt đất là $\alpha$ (0 < $\alpha$ < $\frac{\pi}{2}$). Khi đó chiều dài tối thiểu của thang là:

$l = \frac{2}{\cos \alpha} + \frac{2}{\sin \alpha}$

Đạo hàm $l$ theo $\alpha$:

$\frac{dl}{d\alpha} = \frac{2\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{2\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$

Đặt $\frac{dl}{d\alpha} = 0$ để tìm giá trị cực tiểu của $l$:

$\frac{2\sin \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$

$\Rightarrow 	an^3 \alpha = 1$

$\Rightarrow 	an \alpha = 1$

$\Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}$

Thay $\alpha = \frac{\pi}{4}$ vào biểu thức của $l$:

$l_{min} = \frac{2}{\cos \frac{\pi}{4}} + \frac{2}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} + \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{2}$

Vậy chiều dài tối thiểu của thang là $4\sqrt{2}$ m.

Một bức tường cao 2m nằm song song với một tòa nhà 2m , người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường gác qua bức tường chạm vào tòa nhà hỏi chiều dài tối thiểu của thang là...