Chứng minh rằng: 4a+b chia hết cho 13 thì a + 10b : 13 và ngược lại

Để chứng minh rằng nếu \(4a + b\) chia hết cho 13 thì \(a + 10b\) cũng chia hết cho 13 và ngược lại, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Giả sử \(4a + b\) chia hết cho 13, tức là: \[ 4a + b = 13k \quad \text{(với \(k\) là một số nguyên)} \] 2. Ta cần chứng minh rằng \(a + 10b\) cũng chia hết cho 13. Ta sẽ biến đổi biểu thức \(a + 10b\) dựa trên giả thiết đã cho: \[ a + 10b = a + 10b \] 3. Ta nhân cả hai vế của \(4a + b = 13k\) với 10: \[ 10(4a + b) = 10 \times 13k \] \[ 40a + 10b = 130k \] 4. Bây giờ, ta sẽ trừ biểu thức \(40a + 10b = 130k\) từ biểu thức \(a + 10b\): \[ a + 10b - (40a + 10b) = a + 10b - 40a - 10b \] \[ a + 10b - 40a - 10b = a - 40a \] \[ a - 40a = -39a \] 5. Ta thấy rằng: \[ a + 10b = 130k - 40a \] \[ a + 10b = 130k - 40a \] \[ a + 10b = 130k - 40a \] 6. Vì \(130k\) và \(40a\) đều chia hết cho 13, nên \(a + 10b\) cũng chia hết cho 13. 7. Ngược lại, giả sử \(a + 10b\) chia hết cho 13, tức là: \[ a + 10b = 13m \quad \text{(với \(m\) là một số nguyên)} \] 8. Ta cần chứng minh rằng \(4a + b\) cũng chia hết cho 13. Ta sẽ biến đổi biểu thức \(4a + b\) dựa trên giả thiết đã cho: \[ 4a + b = 4a + b \] 9. Ta nhân cả hai vế của \(a + 10b = 13m\) với 4: \[ 4(a + 10b) = 4 \times 13m \] \[ 4a + 40b = 52m \] 10. Bây giờ, ta sẽ trừ biểu thức \(4a + 40b = 52m\) từ biểu thức \(4a + b\): \[ 4a + b - (4a + 40b) = 4a + b - 4a - 40b \] \[ 4a + b - 4a - 40b = b - 40b \] \[ b - 40b = -39b \] 11. Ta thấy rằng: \[ 4a + b = 52m - 40b \] \[ 4a + b = 52m - 40b \] \[ 4a + b = 52m - 40b \] 12. Vì \(52m\) và \(40b\) đều chia hết cho 13, nên \(4a + b\) cũng chia hết cho 13. Vậy, ta đã chứng minh rằng nếu \(4a + b\) chia hết cho 13 thì \(a + 10b\) cũng chia hết cho 13 và ngược lại.