giúppppppp

Để giải phương trình $\sin 2x = -2 \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình $\sin 2x = -2 \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ không yêu cầu thêm điều kiện xác định nào vì các hàm lượng giác đều có nghĩa trên toàn bộ miền xác định của chúng. Bước 2: Sử dụng công thức nhân đôi - Ta biết rằng $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Do đó, phương trình trở thành: \[ 2 \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 2 \[ \sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình - Để tìm nghiệm của phương trình $\sin x \cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$, ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc sử dụng các giá trị đặc biệt của các hàm lượng giác. Phương pháp đặt ẩn phụ: - Đặt $t = \sin x$, vậy $\cos x = \sqrt{1 - t^2}$ (vì $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). - Thay vào phương trình: \[ t \cdot \sqrt{1 - t^2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \] - Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ t^2 (1 - t^2) = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 \] \[ t^2 - t^4 = \frac{3}{16} \] - Nhân cả hai vế với 16 để làm sạch phân số: \[ 16t^2 - 16t^4 = 3 \] - Đặt $u = t^2$, phương trình trở thành: \[ 16u - 16u^2 = 3 \] \[ 16u^2 - 16u + 3 = 0 \] - Đây là phương trình bậc hai, giải phương trình này: \[ u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{32} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{32} = \frac{16 \pm 8}{32} \] \[ u = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \quad \text{hoặc} \quad u = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \] - Vì $u = t^2$, ta có: \[ t^2 = \frac{3}{4} \quad \text{hoặc} \quad t^2 = \frac{1}{4} \] \[ t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{hoặc} \quad t = \pm \frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm các giá trị của $x$ - Nếu $t = \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, thì $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi$. - Nếu $t = \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, thì $x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{3} + k2\pi$. - Nếu $t = \sin x = \frac{1}{2}$, thì $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi$. - Nếu $t = \sin x = -\frac{1}{2}$, thì $x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi$. Vậy các nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi, \quad x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi, \quad x = \frac{5\pi}{3} + k2\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + k2\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi, \quad x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi, \quad x = \frac{11\pi}{6} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Câu 1: Hàm số $y=\cos x$ có giá trị lớn nhất bằng 1 khi $\cos x=1$. Trên đoạn $[0;2\pi]$, ta có $\cos x=1$ khi $x=0$ hoặc $x=2\pi$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y=\cos x$ trên đoạn $[0;2\pi]$ là 1. Câu 2: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2 \sin x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định miền giá trị của hàm số \( \sin x \): - Hàm số \( \sin x \) có giá trị nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, hàm số \( y = 2 \sin x \) sẽ có giá trị nằm trong khoảng \([-2, 2]\). 2. Xét giá trị của \( \sin x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\): - Trên đoạn \([0; 2\pi]\), hàm số \( \sin x \) đạt giá trị nhỏ nhất là \(-1\) tại điểm \( x = \frac{3\pi}{2} \). 3. Tính giá trị của \( y \) khi \( \sin x = -1 \): - Khi \( \sin x = -1 \), ta có: \[ y = 2 \sin x = 2 \times (-1) = -2 \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2 \sin x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\) là \(-2\). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2 \sin x \) trên đoạn \([0; 2\pi]\) là \(-2\). Câu 3: Để tìm giá trị của \(\cos(235^\circ)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của góc \(235^\circ\) trên đường tròn đơn vị: - Góc \(235^\circ\) nằm trong tam giác vuông thứ ba của đường tròn đơn vị (từ \(180^\circ\) đến \(270^\circ\)). 2. Tìm giá trị của \(\cos(235^\circ)\): - Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị của \(\cos(235^\circ)\). - Kết quả từ máy tính là \(\cos(235^\circ) \approx -0.5736\). 3. Làm tròn kết quả sau dấu phẩy hai chữ số: - Giá trị \(-0.5736\) làm tròn sau dấu phẩy hai chữ số là \(-0.57\). Vậy, giá trị của \(\cos(235^\circ)\) là \(-0.57\). Câu 4: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=3$ và $q=-2$. Ta cần tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân này. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \] Áp dụng công thức trên để tính tổng 8 số hạng đầu tiên ($n = 8$): \[ S_8 = 3 \cdot \frac{1 - (-2)^8}{1 - (-2)} \] Tính $(-2)^8$: \[ (-2)^8 = 256 \] Thay vào công thức: \[ S_8 = 3 \cdot \frac{1 - 256}{1 + 2} \] \[ S_8 = 3 \cdot \frac{-255}{3} \] \[ S_8 = 3 \cdot (-85) \] \[ S_8 = -255 \] Vậy tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là $-255$. Câu 1: a) Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là bao nhiêu? Ta thấy dãy số tiền lương hàng năm của sinh viên là dãy số cách đều với khoảng cách \(d = 24\) triệu đồng. Công thức tính số tiền lương ở năm thứ \(n\) là: \[ u_n = u_1 + (n - 1) \cdot d \] Ở đây, \(u_1 = 120\) triệu đồng và \(d = 24\) triệu đồng. Vậy số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là: \[ u_{10} = 120 + (10 - 1) \cdot 24 \] \[ u_{10} = 120 + 9 \cdot 24 \] \[ u_{10} = 120 + 216 \] \[ u_{10} = 336 \text{ triệu đồng} \] b) Giả sử, mỗi năm bạn sinh viên chi tiêu tiết kiệm hết 70 triệu đồng. Vậy sau ít nhất bao nhiêu năm thì sinh viên đó mua được căn chung cư 2 tỉ đồng? Gọi số năm cần để tích lũy đủ tiền mua căn chung cư là \(n\). Mỗi năm, sinh viên tiết kiệm được số tiền: \[ v_n = u_n - 70 \] Tổng số tiền tiết kiệm sau \(n\) năm là: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (u_k - 70) \] Vì \(u_k\) là dãy số cách đều, ta có thể tính tổng \(S_n\) như sau: \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (120 + (k-1) \cdot 24 - 70) \] \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (50 + (k-1) \cdot 24) \] Tổng của dãy số cách đều: \[ S_n = n \cdot 50 + 24 \cdot \frac{n(n-1)}{2} \] \[ S_n = 50n + 12n(n-1) \] \[ S_n = 50n + 12n^2 - 12n \] \[ S_n = 12n^2 + 38n \] Yêu cầu là \(S_n \geq 2000\) triệu đồng: \[ 12n^2 + 38n \geq 2000 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 12n^2 + 38n - 2000 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ n = \frac{-38 \pm \sqrt{38^2 + 4 \cdot 12 \cdot 2000}}{2 \cdot 12} \] \[ n = \frac{-38 \pm \sqrt{1444 + 96000}}{24} \] \[ n = \frac{-38 \pm \sqrt{97444}}{24} \] \[ n = \frac{-38 \pm 312}{24} \] Lấy nghiệm dương: \[ n = \frac{274}{24} \approx 11.42 \] Vậy sau ít nhất 12 năm, sinh viên sẽ tích lũy đủ tiền mua căn chung cư 2 tỉ đồng. Đáp số: a) 336 triệu đồng b) 12 năm