Giúp hết ạ

Câu 16. Để hàm số \( y = (m+1)x^4 - mx^2 + 3 \) có ba điểm cực trị, ta cần tìm các giá trị của \( m \) sao cho đạo hàm của hàm số có ba nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}[(m+1)x^4 - mx^2 + 3] = 4(m+1)x^3 - 2mx. \] Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 4(m+1)x^3 - 2mx = 0. \] \[ 2x[2(m+1)x^2 - m] = 0. \] Bước 3: Giải phương trình: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2(m+1)x^2 - m = 0. \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2(m+1)x^2 = m. \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{m}{2(m+1)}. \] Bước 4: Để có ba điểm cực trị, phương trình \( x^2 = \frac{m}{2(m+1)} \) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều này yêu cầu: \[ \frac{m}{2(m+1)} > 0. \] Bước 5: Xét dấu của biểu thức \( \frac{m}{2(m+1)} \): - \( \frac{m}{2(m+1)} > 0 \) khi \( m \) và \( m+1 \) cùng dấu. - \( m > 0 \) và \( m+1 > 0 \Rightarrow m > 0 \). - \( m < 0 \) và \( m+1 < 0 \Rightarrow m < -1 \). Do đó, \( m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( m \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty) \). Câu 17. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{x + 2m^2 - m}{x - 3} \) trên đoạn \([0, 1]\), ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và tìm điểm cực tiểu trong khoảng đã cho. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \): \[ y' = \left( \frac{x + 2m^2 - m}{x - 3} \right)' = \frac{(x - 3)'(x + 2m^2 - m) - (x + 2m^2 - m)'(x - 3)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{(1)(x + 2m^2 - m) - (1)(x - 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 2m^2 - m - x + 3}{(x - 3)^2} = \frac{2m^2 - m + 3}{(x - 3)^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{2m^2 - m + 3}{(x - 3)^2} = 0 \] \[ 2m^2 - m + 3 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình \( 2m^2 - m + 3 = 0 \): \[ 2m^2 - m + 3 = 0 \] Phương trình này không có nghiệm thực vì \( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23 < 0 \). Do đó, đạo hàm \( y' \) không bằng 0 trong khoảng \([0, 1]\). Ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các biên của đoạn \([0, 1]\): Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các biên: \[ y(0) = \frac{0 + 2m^2 - m}{0 - 3} = \frac{2m^2 - m}{-3} = -\frac{2m^2 - m}{3} \] \[ y(1) = \frac{1 + 2m^2 - m}{1 - 3} = \frac{1 + 2m^2 - m}{-2} = -\frac{1 + 2m^2 - m}{2} \] Bước 5: So sánh hai giá trị trên để tìm giá trị nhỏ nhất: \[ -\frac{2m^2 - m}{3} = -2 \Rightarrow 2m^2 - m = 6 \Rightarrow 2m^2 - m - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 2m^2 - m - 6 = 0 \] \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \] \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4} \] \[ m = 2 \text{ hoặc } m = -\frac{3}{2} \] \[ -\frac{1 + 2m^2 - m}{2} = -2 \Rightarrow 1 + 2m^2 - m = 4 \Rightarrow 2m^2 - m - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ 2m^2 - m - 3 = 0 \] \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \] \[ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \] \[ m = \frac{3}{2} \text{ hoặc } m = -1 \] Vậy các giá trị của \( m \) là \( m = 2 \) hoặc \( m = -\frac{3}{2} \). Đáp án đúng là: D. \( m = 2 \) hoặc \( m = -\frac{3}{2} \). Câu 18. Để xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) của hàm số \(y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) dựa trên đồ thị, chúng ta sẽ phân tích từng đặc điểm của đồ thị. 1. Phân tích dấu của \(a\): - Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có dạng cong xuống ở phía trái và cong lên ở phía phải. Điều này cho thấy hệ số \(a\) phải là số dương (\(a > 0\)) vì hàm số bậc ba \(y = ax^3\) khi \(a > 0\) có dạng cong xuống ở phía trái và cong lên ở phía phải. 2. Phân tích dấu của \(d\): - Điểm giao của đồ thị với trục \(Oy\) (giao điểm \(y\)-intercept) nằm phía trên trục \(Ox\). Điều này cho thấy \(d > 0\). 3. Phân tích dấu của \(b\) và \(c\): - Đồ thị có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Điều này cho thấy đạo hàm của hàm số \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) phải có hai nghiệm thực khác nhau, tức là phương trình \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) có \(\Delta > 0\). - Để đảm bảo rằng đồ thị có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, hệ số \(b\) phải là số âm (\(b < 0\)) và hệ số \(c\) phải là số dương (\(c > 0\)). Điều này là do nếu \(b < 0\) và \(c > 0\), thì phương trình \(3ax^2 + 2bx + c = 0\) sẽ có hai nghiệm thực khác nhau, tạo ra một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. Từ những phân tích trên, chúng ta có: - \(a > 0\) - \(b < 0\) - \(c > 0\) - \(d > 0\) Do đó, mệnh đề đúng là: B. \(a > 0, b < 0, c > 0, d > 0.\) Đáp án: B. \(a > 0, b < 0, c > 0, d > 0.\)