giúp mình với

Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tính chất của tam giác MAB: - Vì MA và MB là hai tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn $(O;R)$, nên $\widehat{AMO} = \widehat{BMO} = 90^\circ$. - Do $\widehat{AMB} = 60^\circ$, suy ra $\widehat{AMO} + \widehat{BMO} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. - Vì $\widehat{AMO} = \widehat{BMO} = 90^\circ$, nên $\widehat{OMA} = \widehat{OMB} = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. - Tam giác MAB là tam giác cân tại M, do đó MA = MB. 2. Áp dụng tính chất của tam giác cân: - Vì tam giác MAB là tam giác cân tại M, nên $\widehat{MAB} = \widehat{MBA}$. - Tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$, suy ra $\widehat{MAB} + \widehat{MBA} + \widehat{AMB} = 180^\circ$. - Suy ra $2 \times \widehat{MAB} + 60^\circ = 180^\circ$, suy ra $2 \times \widehat{MAB} = 120^\circ$, suy ra $\widehat{MAB} = 60^\circ$. - Vậy tam giác MAB là tam giác đều. 3. Tính chu vi của tam giác MAB: - Vì tam giác MAB là tam giác đều, nên MA = MB = AB. - Chu vi của tam giác MAB là $MA + MB + AB = 3 \times AB$. - Theo đề bài, chu vi của tam giác MAB là 30 cm, suy ra $3 \times AB = 30$, suy ra $AB = 10$ cm. 4. Kết luận: - Độ dài dây cung AB là 10 cm. Vậy đáp án đúng là D. 10 cm. Câu 4. Phát biểu A: Hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau khi và chỉ khi \(R - r < OO' < R + r\). - Đây là phát biểu đúng vì khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nằm giữa hiệu và tổng bán kính của chúng. Phát biểu B: Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi \(OO' = R + r\). - Phát biểu này đã bị viết sai, phải là \(OO' = R + r\) thay vì \(OO' = R - r\). Do đó, phát biểu này sai. Phát biểu C: Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc trong khi và chỉ khi \(R - r = OO'\). - Đây là phát biểu đúng vì khoảng cách giữa tâm hai đường tròn bằng hiệu bán kính của chúng. Phát biểu D: Hai đường tròn (O) và (O') gọi là ngoài nhau khi và chỉ khi \(OO' > R + r\). - Đây là phát biểu đúng vì khoảng cách giữa tâm hai đường tròn lớn hơn tổng bán kính của chúng. Vậy phát biểu sai là phát biểu B. Câu 5. Để xác định xem tam giác DFE có cạnh nào là tiếp tuyến của đường tròn nào, ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Kiểm tra xem tam giác DFE có phải là tam giác vuông hay không. 2. Kiểm tra xem đường thẳng nào là tiếp tuyến của đường tròn nào. Bước 1: Kiểm tra tam giác DFE có phải là tam giác vuông hay không. Ta thấy rằng: \[ DE = 3 \text{ cm}, \quad DF = 4 \text{ cm}, \quad FE = 5 \text{ cm} \] Áp dụng định lý Pythagoras: \[ DE^2 + DF^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = FE^2 \] Vậy tam giác DFE là tam giác vuông tại D. Bước 2: Xác định tiếp tuyến. Trong tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông đến cạnh huyền sẽ tạo ra hai tam giác nhỏ hơn, mỗi tam giác nhỏ này cũng là tam giác vuông. Do đó, ta có thể xác định tiếp tuyến dựa trên các cạnh của tam giác. - Cạnh DF là tiếp tuyến của đường tròn tâm E với bán kính DE = 3 cm. - Cạnh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm F với bán kính DF = 4 cm. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, chỉ có lựa chọn B đúng là: B. DF là tiếp tuyến của (F; 4 cm). Vậy đáp án đúng là: B. DF là tiếp tuyến của (F; 4 cm). Câu 6. Để tìm dây lớn nhất của đường tròn, chúng ta cần hiểu rằng dây lớn nhất của một đường tròn chính là đường kính của đường tròn đó. Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn. - Bán kính của đường tròn $(O;25cm)$ là 25 cm. Bước 2: Tính đường kính của đường tròn. - Đường kính của đường tròn là gấp đôi bán kính. - Do đó, đường kính = 2 × 25 cm = 50 cm. Vậy dây lớn nhất của đường tròn $(O;25cm)$ là 50 cm. Đáp án đúng là: C. 50cm. Câu 7. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác đều. 1. Xác định các góc liên quan: - Vì MA và MB là hai tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn $(O;R)$, nên OA và OB là các bán kính vuông góc với các tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc A và B. - Do đó, $\widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$. 2. Xác định góc $\widehat{AOB}$: - Tam giác OMA và OMB là các tam giác vuông tại A và B. - Vì $\widehat{AMB} = 60^\circ$, nên góc giữa hai tiếp tuyến MA và MB là $60^\circ$. - Góc $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm đối diện với cung AB, do đó $\widehat{AOB} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 3. Xác định góc $\widehat{OAB}$: - Trong tam giác OAB, vì OA = OB (cả hai đều là bán kính của đường tròn), nên tam giác OAB là tam giác cân tại O. - Tổng các góc trong một tam giác là $180^\circ$. Do đó, tổng của hai góc ở đáy ($\widehat{OAB}$ và $\widehat{OBA}$) là $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. - Vì tam giác OAB là tam giác cân, nên $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Vậy, số đo của góc OAB là $30^\circ$. Đáp án đúng là: C. $30^\circ$. Câu 8. Để so sánh góc $\widehat{OKH}$ và $\widehat{OHK}$, ta cần xem xét vị trí của các điểm H và K so với đường tròn $(O;R)$. 1. Xác định vị trí của các điểm: - Điểm H nằm bên ngoài đường tròn $(O;R)$. - Điểm K cũng nằm bên ngoài đường tròn $(O;R)$. 2. Xét tam giác OHK: - Trong tam giác OHK, ta có ba cạnh là OH, OK và HK. - Vì cả hai điểm H và K đều nằm bên ngoài đường tròn, nên OH và OK đều lớn hơn bán kính R của đường tròn. 3. So sánh các cạnh trong tam giác OHK: - Ta thấy rằng OH và OK đều lớn hơn R, nhưng không biết cụ thể OH và OK so với nhau như thế nào. - Tuy nhiên, HK là đoạn thẳng nối hai điểm bên ngoài đường tròn, do đó HK sẽ nhỏ hơn tổng của OH và OK. 4. Áp dụng tính chất tam giác: - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn sẽ lớn hơn. - Nếu OH = OK, thì $\widehat{OKH} = \widehat{OHK}$. - Nếu OH > OK, thì $\widehat{OKH} < \widehat{OHK}$. - Nếu OH < OK, thì $\widehat{OKH} > \widehat{OHK}$. 5. Kết luận: - Không có thông tin cụ thể về mối quan hệ giữa OH và OK, nên ta chỉ có thể nói rằng $\widehat{OKH}$ có thể bằng hoặc lớn hơn hoặc nhỏ hơn $\widehat{OHK}$ tùy thuộc vào vị trí của H và K. Do đó, đáp án đúng là: D. $\widehat{OKH} \geq \widehat{OHK}$. Câu 9. Để tìm độ dài đoạn MA, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của đường tròn: - Đường kính của đường tròn là 12 cm. - Bán kính \( R \) của đường tròn là: \[ R = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} \] 2. Xác định tam giác OMA: - Điểm M nằm ngoài đường tròn và MA là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. - Do đó, góc \( \widehat{OAM} = 90^\circ \) vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. 3. Xác định góc \( \widehat{OMA} \): - Theo đề bài, \( \widehat{OMA} = 30^\circ \). 4. Xác định góc \( \widehat{MOA} \): - Trong tam giác OMA, tổng các góc nội tiếp là 180°: \[ \widehat{OAM} + \widehat{OMA} + \widehat{MOA} = 180^\circ \] \[ 90^\circ + 30^\circ + \widehat{MOA} = 180^\circ \] \[ \widehat{MOA} = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 5. Áp dụng tính chất tam giác cân và tam giác đều: - Tam giác OMA có \( \widehat{OMA} = 30^\circ \) và \( \widehat{MOA} = 60^\circ \). - Do đó, tam giác OMA là tam giác vuông cân tại A với góc \( \widehat{OMA} = 30^\circ \) và góc \( \widehat{MOA} = 60^\circ \). 6. Tính độ dài đoạn MA: - Trong tam giác vuông cân, nếu biết độ dài một cạnh và góc, ta có thể sử dụng tỉ lệ cạnh trong tam giác 30°-60°-90°. - Trong tam giác 30°-60°-90°, cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền: \[ MA = OA \times \tan(30^\circ) \] \[ MA = 6 \times \tan(30^\circ) \] \[ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ MA = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm} \] 7. Kiểm tra lại đáp án: - Đáp án đúng là \( 6\sqrt{3} \text{ cm} \). Vậy độ dài đoạn MA là \( 6\sqrt{3} \text{ cm} \). Đáp án: B. \( 6\sqrt{3} \text{ cm} \). Câu 10. Để tìm độ dài dây chung \(AB\) của hai đường tròn \((O; 20 \text{ cm})\) và \((O'; 15 \text{ cm})\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm và bán kính của hai đường tròn: - Đường tròn \((O; 20 \text{ cm})\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = 20 \text{ cm}\). - Đường tròn \((O'; 15 \text{ cm})\) có tâm \(O'\) và bán kính \(r = 15 \text{ cm}\). 2. Xác định vị trí của điểm \(A\) và \(B\): - \(OA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O')\), do đó \(OA \perp O'A\). 3. Áp dụng tính chất tiếp tuyến và dây cung: - Vì \(OA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O')\) tại \(A\), nên \(O'A \perp OA\). - Ta có tam giác \(OAO'\) vuông tại \(A\). 4. Tính khoảng cách giữa hai tâm \(O\) và \(O'\): - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(OAO'\): \[ OO'^2 = OA^2 + O'A^2 \] \[ OO'^2 = 20^2 + 15^2 \] \[ OO'^2 = 400 + 225 \] \[ OO'^2 = 625 \] \[ OO' = \sqrt{625} = 25 \text{ cm} \] 5. Tính độ dài dây chung \(AB\): - Ta có \(AB\) là dây chung của hai đường tròn, và \(AB\) vuông góc với \(OO'\) tại \(M\) (giao điểm của \(AB\) và \(OO'\)). - Ta có \(AM = MB\) vì \(AB\) là dây chung và \(M\) là trung điểm của \(AB\). - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(OAM\) và \(O'MA\): \[ OM^2 + AM^2 = OA^2 \] \[ O'M^2 + AM^2 = O'A^2 \] - Vì \(OM + O'M = OO'\), ta có: \[ OM = OO' - O'M \] - Thay vào phương trình trên: \[ (25 - O'M)^2 + AM^2 = 20^2 \] \[ O'M^2 + AM^2 = 15^2 \] - Giải hệ phương trình này để tìm \(AM\): \[ (25 - O'M)^2 + AM^2 = 400 \] \[ O'M^2 + AM^2 = 225 \] - Thay \(O'M^2 = 225 - AM^2\) vào phương trình đầu tiên: \[ (25 - \sqrt{225 - AM^2})^2 + AM^2 = 400 \] - Giải phương trình này ta tìm được \(AM = 12 \text{ cm}\). 6. Tính độ dài dây chung \(AB\): - Vì \(AM = MB\), nên: \[ AB = 2 \times AM = 2 \times 12 = 24 \text{ cm} \] Vậy độ dài dây chung \(AB\) là \(24 \text{ cm}\). Đáp án đúng là: C. \(AB = 24 \text{ cm}\).