Giúp tôi trả lời câu này với a?

Để tìm thời điểm mà mực nước trong hồ đạt mức cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( h(t) = 24t + 5t^2 - \frac{t^3}{3} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( h(t) \): \[ h'(t) = 24 + 10t - t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( h'(t) = 0 \): \[ 24 + 10t - t^2 = 0 \] \[ t^2 - 10t - 24 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ t = \frac{10 \pm 14}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{10 + 14}{2} = 12 \] \[ t_2 = \frac{10 - 14}{2} = -2 \] Bước 4: Xác định giá trị \( t \) hợp lý trong bối cảnh thực tế (từ 8h sáng): \[ t = 12 \text{ (vì } t = -2 \text{ không hợp lý)} \] Bước 5: Kiểm tra tính chất cực đại của \( h(t) \) tại \( t = 12 \): Tính đạo hàm thứ hai của \( h(t) \): \[ h''(t) = 10 - 2t \] Tại \( t = 12 \): \[ h''(12) = 10 - 2 \cdot 12 = 10 - 24 = -14 < 0 \] Vậy \( h(t) \) đạt cực đại tại \( t = 12 \). Bước 6: Xác định thời điểm cần thông báo cho hộ dân di dời: Theo quy định, phải thông báo trước 6 giờ trước khi xả nước. Do đó, cần thông báo trước: \[ 12 - 6 = 6 \text{ giờ} \] Vậy cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước 6 giờ. Câu 4. Để tìm diện tích lớn nhất của thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa trong đại số. Gọi chiều dài của thửa ruộng là \( x \) (m) và chiều rộng là \( y \) (m). Vì chỉ cần rào ba mặt của thửa ruộng (không cần rào phía cạnh con sông), nên tổng chiều dài của hàng rào là: \[ x + 2y = 360 \] Từ đó, ta có: \[ x = 360 - 2y \] Diện tích \( S \) của thửa ruộng là: \[ S = x \cdot y \] \[ S = (360 - 2y) \cdot y \] \[ S = 360y - 2y^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích \( S \), ta sẽ tìm đạo hàm của \( S \) theo \( y \): \[ \frac{dS}{dy} = 360 - 4y \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực đại: \[ 360 - 4y = 0 \] \[ 4y = 360 \] \[ y = 90 \] Thay \( y = 90 \) vào phương trình \( x = 360 - 2y \): \[ x = 360 - 2 \cdot 90 \] \[ x = 360 - 180 \] \[ x = 180 \] Vậy, diện tích lớn nhất của thửa ruộng là: \[ S = x \cdot y \] \[ S = 180 \cdot 90 \] \[ S = 16200 \text{ m}^2 \] Đáp số: Diện tích lớn nhất của thửa ruộng là \( 16200 \text{ m}^2 \). Câu 5. Để tìm giá trị \( t \) sao cho số người nhận phúc lợi tối đa, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( n(t) = \frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t \) trên đoạn \( [0, 10] \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( n(t) \): \[ n'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 6t^2 + 32t\right) = t^2 - 12t + 32 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( n'(t) = 0 \): \[ t^2 - 12t + 32 = 0 \] Phương trình này có dạng \( at^2 + bt + c = 0 \), ta sử dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = 32 \): \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{12 + 4}{2} = 8 \] \[ t_2 = \frac{12 - 4}{2} = 4 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị \( t \) tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn \( [0, 10] \): - \( n(0) = \frac{0^3}{3} - 6 \cdot 0^2 + 32 \cdot 0 = 0 \) - \( n(4) = \frac{4^3}{3} - 6 \cdot 4^2 + 32 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 96 + 128 = \frac{64}{3} + 32 = \frac{64 + 96}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \) - \( n(8) = \frac{8^3}{3} - 6 \cdot 8^2 + 32 \cdot 8 = \frac{512}{3} - 384 + 256 = \frac{512}{3} - 128 = \frac{512 - 384}{3} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \) - \( n(10) = \frac{10^3}{3} - 6 \cdot 10^2 + 32 \cdot 10 = \frac{1000}{3} - 600 + 320 = \frac{1000}{3} - 280 = \frac{1000 - 840}{3} = \frac{160}{3} \approx 53.33 \) Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị cực đại: - \( n(0) = 0 \) - \( n(4) = \frac{160}{3} \) - \( n(8) = \frac{128}{3} \) - \( n(10) = \frac{160}{3} \) Như vậy, giá trị cực đại của \( n(t) \) là \( \frac{160}{3} \), đạt được tại \( t = 4 \) và \( t = 10 \). Đáp số: Giá trị \( t \) để số người nhận phúc lợi tối đa là \( t = 4 \) hoặc \( t = 10 \). Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số. Gọi M là điểm trên đoạn AC sao cho AM = x (km). Khi đó MC = 9 - x (km). Chi phí để xây đường ống trên bờ từ A đến M là: \[ 50000 \times x \text{ (USD)} \] Chi phí để xây đường ống dưới nước từ M đến B là: \[ 130000 \times MB \text{ (USD)} \] Trong đó, MB là khoảng cách từ M đến B. Ta có thể tính MB bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MCB: \[ MB = \sqrt{(MC)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(9 - x)^2 + 6^2} = \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \] Do đó, tổng chi phí để xây đường ống theo đường gấp khúc AMB là: \[ f(x) = 50000x + 130000 \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( f(x) \) và tìm điểm cực tiểu. Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = 50000 + 130000 \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \right) \] \[ f'(x) = 50000 + 130000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{-2(9 - x)}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ f'(x) = 50000 - 130000 \cdot \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 50000 - 130000 \cdot \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} = 0 \] \[ 50000 = 130000 \cdot \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ \frac{50000}{130000} = \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] \[ \frac{5}{13} = \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left( \frac{5}{13} \right)^2 = \left( \frac{9 - x}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} \right)^2 \] \[ \frac{25}{169} = \frac{(9 - x)^2}{(9 - x)^2 + 36} \] Nhân cả hai vế với \((9 - x)^2 + 36\): \[ 25 \left( (9 - x)^2 + 36 \right) = 169 (9 - x)^2 \] \[ 25(81 - 18x + x^2) + 900 = 169(81 - 18x + x^2) \] \[ 2025 - 450x + 25x^2 + 900 = 14169 - 3042x + 169x^2 \] \[ 2925 - 450x + 25x^2 = 14169 - 3042x + 169x^2 \] \[ 0 = 14169 - 2925 - 3042x + 450x + 169x^2 - 25x^2 \] \[ 0 = 11244 - 2592x + 144x^2 \] \[ 144x^2 - 2592x + 11244 = 0 \] Chia cả phương trình cho 144: \[ x^2 - 18x + 78 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 1 \cdot 78}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 312}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm \sqrt{12}}{2} \] \[ x = \frac{18 \pm 2\sqrt{3}}{2} \] \[ x = 9 \pm \sqrt{3} \] Vì \( x \) phải nằm trong đoạn [0, 9], ta chọn \( x = 9 - \sqrt{3} \). Thay \( x = 9 - \sqrt{3} \) vào \( f(x) \): \[ f(9 - \sqrt{3}) = 50000(9 - \sqrt{3}) + 130000 \sqrt{(9 - (9 - \sqrt{3}))^2 + 36} \] \[ f(9 - \sqrt{3}) = 50000(9 - \sqrt{3}) + 130000 \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 36} \] \[ f(9 - \sqrt{3}) = 50000(9 - \sqrt{3}) + 130000 \sqrt{3 + 36} \] \[ f(9 - \sqrt{3}) = 50000(9 - \sqrt{3}) + 130000 \sqrt{39} \] Tính giá trị cụ thể: \[ f(9 - \sqrt{3}) = 450000 - 50000\sqrt{3} + 130000\sqrt{39} \] Đổi sang đơn vị nghìn USD: \[ f(9 - \sqrt{3}) = 450 - 50\sqrt{3} + 130\sqrt{39} \] Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là: \[ \boxed{450 - 50\sqrt{3} + 130\sqrt{39}} \text{ (nghìn USD)} \]