Snsnakkajansn

Câu 4. a) Đồ thị hàm số đi qua điểm $M(0;-4).$ Thay $x=0$ vào hàm số ta được $y=e^0+0-4=1-4=-3$. Vậy đồ thị hàm số không đi qua điểm $M(0;-4)$. b) Hàm số đã cho có đạo hàm $f^\prime(x)=e^x+1$ Đạo hàm của hàm số $y=e^x+x-4$ là $f^\prime(x)=e^x+1$. Vậy khẳng định này đúng. c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ bằng $e-3$ Ta có $f(-1)=e^{-1}-1-4=\frac{1}{e}-5< 0$, $f(1)=e+1-4=e-3>0$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;1]$ là $e-3$. Khẳng định này đúng. d) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=0.$ Ta có $f^\prime(x)=e^x+1>0$ với mọi $x$. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực tiểu. Khẳng định này sai. Câu 1. Để tìm số lượng quần thể cá tối đa, ta cần tìm giới hạn của hàm số \( N(t) \) khi \( t \) tiến đến vô cùng. Ta có: \[ N(t) = \frac{60t + 80}{0,05t + 1} \] Khi \( t \) tiến đến vô cùng, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( t \): \[ N(t) = \frac{60 + \frac{80}{t}}{0,05 + \frac{1}{t}} \] Khi \( t \) tiến đến vô cùng, các phân số \(\frac{80}{t}\) và \(\frac{1}{t}\) sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{t \to \infty} N(t) = \frac{60 + 0}{0,05 + 0} = \frac{60}{0,05} = 1200 \] Như vậy, giới hạn của \( N(t) \) khi \( t \) tiến đến vô cùng là 1200 (nghìn con). Do đó, số lượng quần thể cá tối đa sẽ đạt gần nhất là: \[ 1200 \times 1000 = 1200000 \text{ con} \] Đáp số: 1200000 con. Câu 2. Để hàm số $y=\frac{mx+4m}{x+m}$ nghịch biến trên các khoảng của tập xác định, ta cần tìm các giá trị nguyên của m sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $y' = \left(\frac{mx+4m}{x+m}\right)'$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $y' = \frac{(mx + 4m)'(x + m) - (mx + 4m)(x + m)'}{(x + m)^2}$ $y' = \frac{m(x + m) - (mx + 4m)}{(x + m)^2}$ $y' = \frac{mx + m^2 - mx - 4m}{(x + m)^2}$ $y' = \frac{m^2 - 4m}{(x + m)^2}$ Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm nhỏ hơn 0 Để hàm số nghịch biến, ta cần $y' < 0$. Do đó: $\frac{m^2 - 4m}{(x + m)^2} < 0$ Vì $(x + m)^2$ luôn dương (trừ trường hợp x = -m), nên ta chỉ cần xét dấu của tử số: $m^2 - 4m < 0$ Bước 3: Giải bất phương trình $m(m - 4) < 0$ Đây là một bất phương trình bậc hai, ta vẽ đồ thị hoặc sử dụng phương pháp tìm nghiệm để giải: $m = 0$ và $m = 4$ Do đó, m nằm trong khoảng: $0 < m < 4$ Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của m Các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên là: $m = 1, 2, 3$ Vậy có 3 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng của tập xác định. Đáp số: 3 giá trị nguyên của m. Câu 3. Để tìm số máy móc tối ưu mà công ty nên sử dụng để chi phí hoạt động là thấp nhất, chúng ta cần tính toán chi phí tổng thể dựa trên số máy móc và thời gian hoạt động của chúng. Gọi số máy móc là \( n \). Mỗi máy móc sản xuất được 30 quả bóng trong một giờ, do đó \( n \) máy móc sẽ sản xuất được \( 30n \) quả bóng trong một giờ. Thời gian cần thiết để sản xuất 8000 quả bóng là: \[ t = \frac{8000}{30n} = \frac{800}{3n} \text{ (giờ)} \] Chi phí thiết lập cho \( n \) máy móc là: \[ 200n \text{ (nghìn đồng)} \] Chi phí giám sát trong \( t \) giờ là: \[ 192t = 192 \times \frac{800}{3n} = \frac{153600}{3n} = \frac{51200}{n} \text{ (nghìn đồng)} \] Tổng chi phí \( C(n) \) là: \[ C(n) = 200n + \frac{51200}{n} \] Để tìm giá trị \( n \) tối ưu, chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) làm cho \( C(n) \) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta tính đạo hàm của \( C(n) \): \[ C'(n) = 200 - \frac{51200}{n^2} \] Đặt \( C'(n) = 0 \): \[ 200 - \frac{51200}{n^2} = 0 \] \[ 200 = \frac{51200}{n^2} \] \[ n^2 = \frac{51200}{200} \] \[ n^2 = 256 \] \[ n = 16 \] Vậy, công ty nên sử dụng 16 máy móc để chi phí hoạt động là thấp nhất. Đáp số: 16 máy móc. Câu 4. Để tìm thời điểm mà nồng độ của hóa chất trong máu đạt mức cao nhất, ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( C(t) = \frac{2t}{30 + t^3} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(t) \): \[ C'(t) = \frac{(2)(30 + t^3) - (2t)(3t^2)}{(30 + t^3)^2} = \frac{60 + 2t^3 - 6t^3}{(30 + t^3)^2} = \frac{60 - 4t^3}{(30 + t^3)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( C'(t) = 0 \): \[ \frac{60 - 4t^3}{(30 + t^3)^2} = 0 \] \[ 60 - 4t^3 = 0 \] \[ 4t^3 = 60 \] \[ t^3 = 15 \] \[ t = \sqrt[3]{15} \approx 2.47 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm \( C'(t) \) để xác định cực đại: - Khi \( t < \sqrt[3]{15} \), \( C'(t) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( t > \sqrt[3]{15} \), \( C'(t) < 0 \) (hàm số giảm) Do đó, tại \( t = \sqrt[3]{15} \approx 2.47 \) giờ, hàm số đạt cực đại. Vậy sau khoảng 2.47 giờ tiêm thì nồng độ của hóa chất trong máu đạt mức cao nhất. Câu 5. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính Chi Phí Biên: - Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí \( C(x) \). - \( C(x) = 30.000 + 300x - \frac{5}{2}x^2 + \frac{1}{8}x^3 \) - Đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = 300 - 5x + \frac{3}{8}x^2 \] - Tính chi phí biên tại \( x = 160 \): \[ C'(160) = 300 - 5(160) + \frac{3}{8}(160)^2 \] \[ C'(160) = 300 - 800 + \frac{3}{8} \times 25600 \] \[ C'(160) = 300 - 800 + 9600 \] \[ C'(160) = 9100 \] 2. Tìm Số Sản Phẩm Để Lợi Nhuận Lớn Nhất: - Lợi nhuận \( P(x) \) là hiệu giữa doanh thu \( F(x) \) và tổng chi phí \( x \times G(x) \): \[ P(x) = F(x) - x \times G(x) \] - Thay \( F(x) \) và \( G(x) \) vào: \[ F(x) = x^3 - 3000x^2 + 1200000x + 240000 \] \[ G(x) = x + 1000 + \frac{240000}{x} \] \[ x \times G(x) = x^2 + 1000x + 240000 \] \[ P(x) = x^3 - 3000x^2 + 1200000x + 240000 - (x^2 + 1000x + 240000) \] \[ P(x) = x^3 - 3001x^2 + 1199000x \] - Tìm đạo hàm của \( P(x) \): \[ P'(x) = 3x^2 - 6002x + 1199000 \] - Giải phương trình \( P'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6002x + 1199000 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 3 \), \( b = -6002 \), \( c = 1199000 \): \[ x = \frac{6002 \pm \sqrt{(-6002)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1199000}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{6002 \pm \sqrt{36024004 - 14388000}}{6} \] \[ x = \frac{6002 \pm \sqrt{21636004}}{6} \] \[ x = \frac{6002 \pm 4651.67}{6} \] \[ x_1 = \frac{6002 + 4651.67}{6} \approx 1775.61 \] \[ x_2 = \frac{6002 - 4651.67}{6} \approx 225.05 \] - Kiểm tra điều kiện \( 1 \leq x \leq 600 \): - \( x_1 \approx 1775.61 \) không thỏa mãn điều kiện. - \( x_2 \approx 225.05 \) thỏa mãn điều kiện. Do đó, doanh nghiệp cần sản xuất khoảng 225 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Đáp số: - Chi phí biên tại \( x = 160 \): 9100 nghìn đồng. - Số sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất: 225 sản phẩm.