Giải câu hỏi toán

Câu 1: Để tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thành phần của vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{j} - 3\overrightarrow{k} = (0, 2, -3) \] \[ \overrightarrow{b} = 4\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k} = (4, 1, 1) \] Bước 2: Tính vectơ $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$: \[ 2\overrightarrow{a} = 2(0, 2, -3) = (0, 4, -6) \] \[ \overrightarrow{v} = (0, 4, -6) - (4, 1, 1) = (-4, 3, -7) \] Bước 3: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{v}$: \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 9 + 49} = \sqrt{74} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{v}$ là $\sqrt{74}$. Đáp án đúng là: A. $\sqrt{74}$ Câu 2: Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) phải cùng phương. Ta sẽ tìm vectơ \(AB\) và vectơ \(AM\) rồi so sánh chúng. 1. Tìm vectơ \(AB\): \[ AB = B - A = (5 - 2, -5 - (-1), 7 - 5) = (3, -4, 2) \] 2. Tìm vectơ \(AM\): \[ AM = M - A = (x - 2, y - (-1), 1 - 5) = (x - 2, y + 1, -4) \] 3. Để \(AB\) và \(AM\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ AM = k \cdot AB \] \[ (x - 2, y + 1, -4) = k \cdot (3, -4, 2) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ x - 2 = 3k \] \[ y + 1 = -4k \] \[ -4 = 2k \] Giải phương trình \(-4 = 2k\): \[ k = -2 \] Thay \(k = -2\) vào hai phương trình còn lại: \[ x - 2 = 3(-2) \] \[ x - 2 = -6 \] \[ x = -4 \] \[ y + 1 = -4(-2) \] \[ y + 1 = 8 \] \[ y = 7 \] Vậy giá trị của \(x\) và \(y\) là: \[ x = -4 \] \[ y = 7 \] Đáp án đúng là: B. \(x = -4; y = 7\). Câu 3: Để tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các điểm đã cho: - \( A(1, 2, -1) \) - \( B(2, -1, 3) \) - \( C(-3, 5, 1) \) Ta cần tìm tọa độ của điểm \( D(x, y, z) \) sao cho \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, -1 - 2, 3 - (-1)) = (1, -3, 4) \] Tính vectơ \( \overrightarrow{DC} \): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (-3 - x, 5 - y, 1 - z) \] Để \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \), ta có: \[ (1, -3, 4) = (-3 - x, 5 - y, 1 - z) \] So sánh từng thành phần: 1. \( 1 = -3 - x \) \[ x = -3 - 1 = -4 \] 2. \( -3 = 5 - y \) \[ y = 5 + 3 = 8 \] 3. \( 4 = 1 - z \) \[ z = 1 - 4 = -3 \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (-4, 8, -3) \). Đáp án đúng là: C. \( (-4, 8, -3) \) Câu 4: Để tìm tọa độ của điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của các đoạn thẳng: - Trung điểm của đoạn thẳng AB: \[ M_{AB} = \left( \frac{1+2}{2}, \frac{-4+1}{2}, \frac{2-3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{-3}{2}, \frac{-1}{2} \right) \] - Trung điểm của đoạn thẳng CD: \[ M_{CD} = \left( \frac{3+2}{2}, \frac{0-5}{2}, \frac{-2-1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{-5}{2}, \frac{-3}{2} \right) \] 2. Tìm trung điểm của đoạn thẳng nối hai trung điểm trên: - Trung điểm của đoạn thẳng nối \(M_{AB}\) và \(M_{CD}\): \[ G = \left( \frac{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}}{2}, \frac{\frac{-3}{2} + \frac{-5}{2}}{2}, \frac{\frac{-1}{2} + \frac{-3}{2}}{2} \right) = \left( \frac{8}{4}, \frac{-8}{4}, \frac{-4}{4} \right) = (2, -2, -1) \] Vậy tọa độ của điểm G là \(G(2, -2, -1)\). Đáp án đúng là: B. \(G(2, -2, -1)\). Câu 5: Để tìm tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm B và C: - Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ $(2, 1, -3)$. - Công thức tính tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ 2 = \frac{1 + x_B + x_C}{3} \] \[ 1 = \frac{-1 + y_B + y_C}{3} \] \[ -3 = \frac{-2 + z_B + z_C}{3} \] Từ đây, ta có: \[ 1 + x_B + x_C = 6 \Rightarrow x_B + x_C = 5 \] \[ -1 + y_B + y_C = 3 \Rightarrow y_B + y_C = 4 \] \[ -2 + z_B + z_C = -9 \Rightarrow z_B + z_C = -7 \] 2. Tìm tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - $\overrightarrow{AB} = (x_B - 1, y_B + 1, z_B + 2)$ - $\overrightarrow{AC} = (x_C - 1, y_C + 1, z_C + 2)$ 3. Tính tổng của hai véc-tơ: \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = ((x_B - 1) + (x_C - 1), (y_B + 1) + (y_C + 1), (z_B + 2) + (z_C + 2)) \] \[ \overrightarrow{u} = (x_B + x_C - 2, y_B + y_C + 2, z_B + z_C + 4) \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ \overrightarrow{u} = (5 - 2, 4 + 2, -7 + 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (3, 6, -3) \] Vậy tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{u}$ là $(3, 6, -3)$. Đáp án đúng là: B. $(3, 6, -3)$. Câu 6: Để tìm tọa độ điểm \( I \) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \(\overrightarrow{IA}\) và \(\overrightarrow{IB}\): Giả sử tọa độ của điểm \( I \) là \( (x, y, z) \). \[ \overrightarrow{IA} = (1 - x, 2 - y, -1 - z) \] \[ \overrightarrow{IB} = (2 - x, -1 - y, 3 - z) \] 2. Áp dụng điều kiện \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\): Ta có: \[ (1 - x, 2 - y, -1 - z) + 2(2 - x, -1 - y, 3 - z) = (0, 0, 0) \] Điều này tương đương với: \[ (1 - x, 2 - y, -1 - z) + (4 - 2x, -2 - 2y, 6 - 2z) = (0, 0, 0) \] Cộng các thành phần tương ứng: \[ (1 - x + 4 - 2x, 2 - y - 2 - 2y, -1 - z + 6 - 2z) = (0, 0, 0) \] \[ (5 - 3x, 0 - 3y, 5 - 3z) = (0, 0, 0) \] 3. Giải hệ phương trình: Từ đây, ta có ba phương trình: \[ 5 - 3x = 0 \] \[ -3y = 0 \] \[ 5 - 3z = 0 \] Giải từng phương trình: \[ 5 - 3x = 0 \implies x = \frac{5}{3} \] \[ -3y = 0 \implies y = 0 \] \[ 5 - 3z = 0 \implies z = \frac{5}{3} \] 4. Kết luận: Tọa độ của điểm \( I \) là \( \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( I \left( \frac{5}{3}, 0, \frac{5}{3} \right) \). Câu 7: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta cần biết tọa độ của các đỉnh \( A, B, \) và \( C \). Ta sẽ sử dụng thông tin đã cho để tìm tọa độ của các điểm này. Ta có: \[ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \] Tọa độ của các điểm \( E, F, K \) lần lượt là \( E(1;3;2), F(0;-1;5), K(2;4;-1) \). Giả sử tọa độ của các điểm \( A, B, C \) lần lượt là \( A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3) \). Ta có: \[ \overrightarrow{AE} = (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) \] \[ \overrightarrow{BF} = (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) \] \[ \overrightarrow{CK} = (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) \] Theo đề bài: \[ (1 - x_1, 3 - y_1, 2 - z_1) + (0 - x_2, -1 - y_2, 5 - z_2) + (2 - x_3, 4 - y_3, -1 - z_3) = (0, 0, 0) \] Tách thành từng thành phần: \[ (1 - x_1) + (0 - x_2) + (2 - x_3) = 0 \] \[ (3 - y_1) + (-1 - y_2) + (4 - y_3) = 0 \] \[ (2 - z_1) + (5 - z_2) + (-1 - z_3) = 0 \] Giải các phương trình này: \[ 1 - x_1 - x_2 + 2 - x_3 = 0 \Rightarrow 3 - (x_1 + x_2 + x_3) = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 3 \] \[ 3 - y_1 - 1 - y_2 + 4 - y_3 = 0 \Rightarrow 6 - (y_1 + y_2 + y_3) = 0 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 = 6 \] \[ 2 - z_1 + 5 - z_2 - 1 - z_3 = 0 \Rightarrow 6 - (z_1 + z_2 + z_3) = 0 \Rightarrow z_1 + z_2 + z_3 = 6 \] Tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Thay vào: \[ G\left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}, \frac{6}{3}\right) = G(1, 2, 2) \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là: \[ G(1, 2, 2) \] Đáp án đúng là: A. \( G(1;2;2) \) Câu 8: Để tìm tọa độ điểm Q, ta cần biết tọa độ điểm R trước. Ta biết rằng M là trung điểm của đoạn QR, do đó ta có thể sử dụng công thức trung điểm để tìm tọa độ điểm R. Bước 1: Tìm tọa độ điểm R. Gọi tọa độ điểm R là $(x_R, y_R, z_R)$. Vì M là trung điểm của QR, ta có: \[ M = \left( \frac{x_Q + x_R}{2}, \frac{y_Q + y_R}{2}, \frac{z_Q + z_R}{2} \right) \] Biết rằng M có tọa độ $(1, -2, 2)$, ta có: \[ 1 = \frac{x_Q + x_R}{2} \] \[ -2 = \frac{y_Q + y_R}{2} \] \[ 2 = \frac{z_Q + z_R}{2} \] Bước 2: Biểu diễn tọa độ điểm R thông qua tọa độ điểm Q. \[ x_R = 2 - x_Q \] \[ y_R = -4 - y_Q \] \[ z_R = 4 - z_Q \] Bước 3: Sử dụng vectơ $\overrightarrow{PR}$ để tìm tọa độ điểm R. Ta biết rằng $\overrightarrow{PR} = (-2, -1, 0)$, do đó: \[ \overrightarrow{PR} = (x_R - x_P, y_R - y_P, z_R - z_P) \] Gọi tọa độ điểm P là $(x_P, y_P, z_P)$. Ta có: \[ -2 = x_R - x_P \] \[ -1 = y_R - y_P \] \[ 0 = z_R - z_P \] Bước 4: Tìm tọa độ điểm P. Ta biết rằng $\overrightarrow{PQ} = (0, 1, -2)$, do đó: \[ \overrightarrow{PQ} = (x_Q - x_P, y_Q - y_P, z_Q - z_P) \] Từ đây, ta có: \[ 0 = x_Q - x_P \Rightarrow x_P = x_Q \] \[ 1 = y_Q - y_P \Rightarrow y_P = y_Q - 1 \] \[ -2 = z_Q - z_P \Rightarrow z_P = z_Q + 2 \] Bước 5: Thay vào các phương trình để tìm tọa độ điểm Q. \[ -2 = (2 - x_Q) - x_Q \Rightarrow -2 = 2 - 2x_Q \Rightarrow 2x_Q = 4 \Rightarrow x_Q = 2 \] \[ -1 = (-4 - y_Q) - (y_Q - 1) \Rightarrow -1 = -4 - y_Q - y_Q + 1 \Rightarrow -1 = -3 - 2y_Q \Rightarrow 2y_Q = 2 \Rightarrow y_Q = -1 \] \[ 0 = (4 - z_Q) - (z_Q + 2) \Rightarrow 0 = 4 - z_Q - z_Q - 2 \Rightarrow 0 = 2 - 2z_Q \Rightarrow 2z_Q = 2 \Rightarrow z_Q = 1 \] Vậy tọa độ điểm Q là $(2, -1, 1)$. Đáp án đúng là: D. $(2, -1, 1)$. Câu 9: Để tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của trung điểm M của đoạn thẳng AB. 2. Tìm tọa độ của trung điểm N của đoạn thẳng CD. 3. Tìm tọa độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN. Bước 1: Tìm tọa độ của trung điểm M của đoạn thẳng AB. - Điểm A có tọa độ (2, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (0, 2, 0). Tọa độ của trung điểm M là: \[ M = \left( \frac{2+0}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (1, 1, 0) \] Bước 2: Tìm tọa độ của trung điểm N của đoạn thẳng CD. - Điểm C có tọa độ (0, 0, 2). - Điểm D có tọa độ (2, 2, 2). Tọa độ của trung điểm N là: \[ N = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+2}{2} \right) = (1, 1, 2) \] Bước 3: Tìm tọa độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN. - Điểm M có tọa độ (1, 1, 0). - Điểm N có tọa độ (1, 1, 2). Tọa độ của trung điểm I là: \[ I = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+2}{2} \right) = (1, 1, 1) \] Vậy tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là: \[ I(1, 1, 1) \] Đáp án đúng là: C. \( I(1, 1, 1) \) Câu 10: Để tìm tọa độ của điểm \( M(a; b; c) \) sao cho \(ABCM\) là hình bình hành, ta cần sử dụng tính chất của hình bình hành: đường chéo của hình bình hành chia đôi nhau. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AC\) là: \[ \left( \frac{1 + (-2)}{2}, \frac{2 + 3}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1 \right) \] Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(BM\) là: \[ \left( \frac{2 + a}{2}, \frac{-1 + b}{2}, \frac{3 + c}{2} \right) \] Vì \(AC\) và \(BM\) là các đường chéo của hình bình hành, chúng phải chia đôi nhau tại cùng một điểm. Do đó, ta có: \[ \left( \frac{2 + a}{2}, \frac{-1 + b}{2}, \frac{3 + c}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{5}{2}, 1 \right) \] Bằng cách so sánh từng thành phần, ta có: \[ \frac{2 + a}{2} = -\frac{1}{2} \implies 2 + a = -1 \implies a = -3 \] \[ \frac{-1 + b}{2} = \frac{5}{2} \implies -1 + b = 5 \implies b = 6 \] \[ \frac{3 + c}{2} = 1 \implies 3 + c = 2 \implies c = -1 \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là \((-3, 6, -1)\). Tiếp theo, ta tính giá trị của \(P = a^2 + b^2 - c^2\): \[ P = (-3)^2 + 6^2 - (-1)^2 = 9 + 36 - 1 = 44 \] Do đó, giá trị của \(P\) là 44. Đáp án đúng là: D. 44. Câu 11: Để tìm tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Áp dụng vào bài toán: - Tọa độ của điểm \(A\) là \((2, 1, 3)\) - Tọa độ của điểm \(B\) là \((4, -3, 1)\) Ta tính từng thành phần tọa độ của trung điểm \(I\): 1. Tọa độ \(x\)-tọa độ của \(I\): \[ \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] 2. Tọa độ \(y\)-tọa độ của \(I\): \[ \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] 3. Tọa độ \(z\)-tọa độ của \(I\): \[ \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là: \[ I(3, -1, 2) \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( (3, -1, 2) \) Câu 12: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$, ta thực hiện các phép toán vector theo từng thành phần. Bước 1: Tính $3\overrightarrow{a}$: \[ 3\overrightarrow{a} = 3(3; 4; 2) = (9; 12; 6) \] Bước 2: Tính $2\overrightarrow{b}$: \[ 2\overrightarrow{b} = 2(-5; 0; 3) = (-10; 0; 6) \] Bước 3: Tính $-\overrightarrow{c}$: \[ -\overrightarrow{c} = -(1; 2; -4) = (-1; -2; 4) \] Bước 4: Cộng các kết quả trên lại: \[ \overrightarrow{u} = (9; 12; 6) + (-10; 0; 6) + (-1; -2; 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (9 - 10 - 1; 12 + 0 - 2; 6 + 6 + 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (-2; 10; 16) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{u} = (-2; 10; 16) \] Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{u} = (-2; 10; 16)$ Câu 13: Để tìm tọa độ của $\overrightarrow v$, ta thực hiện phép nhân và cộng các vectơ theo công thức đã cho: \[ \overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + 15\overrightarrow c \] Ta thay các giá trị của $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$, và $\overrightarrow c$ vào: \[ \overrightarrow a = (-3; 5; 2) \] \[ \overrightarrow b = (0; -1; 3) \] \[ \overrightarrow c = (1; -1; 1) \] Bây giờ, ta thực hiện phép nhân và cộng từng thành phần: \[ 2\overrightarrow a = 2(-3; 5; 2) = (-6; 10; 4) \] \[ -3\overrightarrow b = -3(0; -1; 3) = (0; 3; -9) \] \[ 15\overrightarrow c = 15(1; -1; 1) = (15; -15; 15) \] Tiếp theo, ta cộng các kết quả này lại: \[ \overrightarrow v = (-6; 10; 4) + (0; 3; -9) + (15; -15; 15) \] Cộng từng thành phần: \[ \overrightarrow v = (-6 + 0 + 15; 10 + 3 - 15; 4 - 9 + 15) \] \[ \overrightarrow v = (9; -2; 10) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow v$ là: \[ \overrightarrow v = (9; -2; 10) \] Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow v = (9; -2; 10)$.