giúp em vs a

Câu 1: Để đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + mx + 14 + 8m - m^2}{x - 2}$ có hai cực trị, ta cần tìm điều kiện của tham số \( m \) sao cho phương trình đạo hàm \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y = \frac{x^2 + mx + 14 + 8m - m^2}{x - 2} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + mx + 14 + 8m - m^2)'(x - 2) - (x^2 + mx + 14 + 8m - m^2)(x - 2)'}{(x - 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + mx + 14 + 8m - m^2)' = 2x + m \] \[ (x - 2)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x + m)(x - 2) - (x^2 + mx + 14 + 8m - m^2)}{(x - 2)^2} \] Rút gọn biểu thức trên: \[ y' = \frac{2x^2 + mx - 4x - 2m - x^2 - mx - 14 - 8m + m^2}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 4x - 14 - 10m + m^2}{(x - 2)^2} \] Bước 2: Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{x^2 - 4x - 14 - 10m + m^2}{(x - 2)^2} = 0 \] Điều này tương đương với: \[ x^2 - 4x - 14 - 10m + m^2 = 0 \] Bước 3: Để phương trình \( x^2 - 4x - 14 - 10m + m^2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta > 0 \] Tính delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai: \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14 - 10m + m^2) \] \[ \Delta = 16 + 4(14 + 10m - m^2) \] \[ \Delta = 16 + 56 + 40m - 4m^2 \] \[ \Delta = 72 + 40m - 4m^2 \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ 72 + 40m - 4m^2 > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình \( 72 + 40m - 4m^2 > 0 \): \[ -4m^2 + 40m + 72 > 0 \] Chia cả hai vế cho -4 (nhớ đổi dấu): \[ m^2 - 10m - 18 < 0 \] Giải phương trình bậc hai \( m^2 - 10m - 18 = 0 \): \[ m = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 72}}{2} \] \[ m = \frac{10 \pm \sqrt{172}}{2} \] \[ m = \frac{10 \pm 2\sqrt{43}}{2} \] \[ m = 5 \pm \sqrt{43} \] Vậy, \( m^2 - 10m - 18 < 0 \) khi: \[ 5 - \sqrt{43} < m < 5 + \sqrt{43} \] Bước 5: Xác định các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( 5 - \sqrt{43} < m < 5 + \sqrt{43} \). \[ \sqrt{43} \approx 6.557 \] Do đó: \[ 5 - 6.557 < m < 5 + 6.557 \] \[ -1.557 < m < 11.557 \] Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là: \[ m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \] Vậy có 12 giá trị nguyên của tham số \( m \) để đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + mx + 14 + 8m - m^2}{x - 2} \) có hai cực trị. Câu 2: Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-(5-m)x^2+2m^2x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm các giá trị nguyên của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 - (5-m)x^2 + 2m^2x\right)' = x^2 - 2(5-m)x + 2m^2 \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm $y'$ phải luôn dương trên $\mathbb{R}$: \[ x^2 - 2(5-m)x + 2m^2 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Điều kiện để một tam thức bậc hai luôn dương là: - Hệ số của $x^2$ phải dương (điều này đã thoả mãn vì hệ số của $x^2$ là 1). - Đạo hàm tam thức phải có biệt thức nhỏ hơn 0: \[ \Delta = b^2 - 4ac < 0 \] Trong đó, $a = 1$, $b = -2(5-m)$, $c = 2m^2$. Ta có: \[ \Delta = [-2(5-m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2m^2 < 0 \] \[ \Delta = 4(5-m)^2 - 8m^2 < 0 \] \[ 4(25 - 10m + m^2) - 8m^2 < 0 \] \[ 100 - 40m + 4m^2 - 8m^2 < 0 \] \[ 100 - 40m - 4m^2 < 0 \] \[ 4m^2 + 40m - 100 > 0 \] \[ m^2 + 10m - 25 > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình $m^2 + 10m - 25 > 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 + 10m - 25 = 0$: \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 100}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{200}}{2} = \frac{-10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = -5 \pm 5\sqrt{2} \] Do đó, các nghiệm là: \[ m_1 = -5 + 5\sqrt{2} \approx 2.07 \] \[ m_2 = -5 - 5\sqrt{2} \approx -12.07 \] Bất phương trình $m^2 + 10m - 25 > 0$ sẽ đúng khi: \[ m < -5 - 5\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m > -5 + 5\sqrt{2} \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của $m$: \[ m < -12.07 \quad \text{hoặc} \quad m > 2.07 \] Vậy các giá trị nguyên của $m$ là: \[ m \leq -13 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 3 \] Kết luận: Các giá trị nguyên của $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là: \[ m \leq -13 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 3 \]