Giải hộ bài tập

Câu 2. Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{2x - 1}{-x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định Hàm số \( y = \frac{2x - 1}{-x + 2} \) có mẫu số là \(-x + 2\). Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0: \[ -x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \). Bước 2: Tìm giao điểm với trục tọa độ - Giao điểm với trục Oy: Thay \( x = 0 \) vào hàm số: \[ y = \frac{2(0) - 1}{-(0) + 2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] Vậy giao điểm với trục Oy là \( (0, -\frac{1}{2}) \). - Giao điểm với trục Ox: Thay \( y = 0 \) vào hàm số: \[ 0 = \frac{2x - 1}{-x + 2} \] Điều này xảy ra khi tử số bằng 0: \[ 2x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \] Vậy giao điểm với trục Ox là \( (\frac{1}{2}, 0) \). Bước 3: Tìm tiệm cận - Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 2 \) vì khi \( x \to 2 \), mẫu số \(-x + 2\) tiến đến 0, làm cho hàm số tiến đến vô cùng. - Tiệm cận ngang: Ta tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{-x + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{-1 + \frac{2}{x}} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = -2 \). Bước 4: Xét tính chẵn lẻ Thay \( -x \) vào hàm số: \[ y(-x) = \frac{2(-x) - 1}{-(-x) + 2} = \frac{-2x - 1}{x + 2} \] Ta thấy \( y(-x) \neq y(x) \) và \( y(-x) \neq -y(x) \), nên hàm số không chẵn cũng không lẻ. Bước 5: Xét chiều tăng giảm và cực trị Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x - 1}{-x + 2} \right)' = \frac{(2)(-x + 2) - (2x - 1)(-1)}{(-x + 2)^2} = \frac{-2x + 4 + 2x - 1}{(-x + 2)^2} = \frac{3}{(-x + 2)^2} \] Vì \( (-x + 2)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 2 \), ta có \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq 2 \). Do đó, hàm số luôn tăng trên các khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \). Bước 6: Vẽ đồ thị - Đồ thị đi qua các điểm \( (0, -\frac{1}{2}) \) và \( (\frac{1}{2}, 0) \). - Đồ thị có tiệm cận đứng là \( x = 2 \) và tiệm cận ngang là \( y = -2 \). - Đồ thị luôn tăng trên các khoảng \( (-\infty, 2) \) và \( (2, +\infty) \). Kết luận Đồ thị của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{-x + 2} \) là một đường cong có các đặc điểm đã nêu trên.