giúp e vs a

Câu 1: Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-(5-2m)x^2+(25+5m^2)x+2m$ có hai cực trị, ta cần tìm điều kiện của m sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2(5-2m)x + (25 + 5m^2) \] Bước 2: Để hàm số có hai cực trị, đạo hàm y' phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình bậc hai \( x^2 - 2(5-2m)x + (25 + 5m^2) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Bước 3: Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là: \[ \Delta > 0 \] Trong đó, \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Áp dụng vào phương trình \( x^2 - 2(5-2m)x + (25 + 5m^2) = 0 \): \[ a = 1, \quad b = -2(5-2m), \quad c = 25 + 5m^2 \] Tính biệt thức: \[ \Delta = [-2(5-2m)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (25 + 5m^2) \] \[ \Delta = 4(5-2m)^2 - 4(25 + 5m^2) \] \[ \Delta = 4(25 - 20m + 4m^2) - 4(25 + 5m^2) \] \[ \Delta = 4(25 - 20m + 4m^2 - 25 - 5m^2) \] \[ \Delta = 4(-20m - m^2) \] \[ \Delta = -4m(20 + m) \] Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ -4m(20 + m) > 0 \] Bước 4: Giải bất phương trình: \[ -4m(20 + m) > 0 \] Phân tích dấu của các nhân tử: - \( -4m > 0 \) khi \( m < 0 \) - \( 20 + m > 0 \) khi \( m > -20 \) Do đó, \( -4m(20 + m) > 0 \) khi: \[ -20 < m < 0 \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên: \[ m = -19, -18, -17, ..., -1 \] Vậy có 19 giá trị nguyên của m để hàm số có hai cực trị. Câu 2: Để hàm số $y=\frac{mx+2m-3}{mx+6}$ đồng biến trên tập xác định, ta cần tìm điều kiện của m sao cho đạo hàm của hàm số dương trên tập xác định. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = \left( \frac{mx+2m-3}{mx+6} \right)' = \frac{(mx+6)'(mx+2m-3) - (mx+6)(mx+2m-3)'}{(mx+6)^2} \] \[ = \frac{m(mx+2m-3) - m(mx+6)}{(mx+6)^2} \] \[ = \frac{m^2x + 2m^2 - 3m - m^2x - 6m}{(mx+6)^2} \] \[ = \frac{2m^2 - 9m}{(mx+6)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương Để hàm số đồng biến, ta cần: \[ y' > 0 \] \[ \frac{2m^2 - 9m}{(mx+6)^2} > 0 \] Vì $(mx+6)^2$ luôn dương (trừ trường hợp $mx+6=0$, nhưng ta sẽ xét điều kiện xác định sau), nên ta chỉ cần: \[ 2m^2 - 9m > 0 \] \[ m(2m - 9) > 0 \] Bước 3: Giải bất phương trình \[ m(2m - 9) > 0 \] Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} m & (-\infty, 0) & (0, \frac{9}{2}) & (\frac{9}{2}, \infty) \\ \hline m & - & + & + \\ 2m - 9 & - & - & + \\ \hline m(2m - 9) & + & - & + \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy: \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > \frac{9}{2} \] Bước 4: Xét điều kiện xác định của hàm số Hàm số $y=\frac{mx+2m-3}{mx+6}$ xác định khi: \[ mx + 6 \neq 0 \] \[ x \neq -\frac{6}{m} \] Để hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định, điều kiện này phải luôn thỏa mãn, tức là $m$ không được làm cho $x = -\frac{6}{m}$ nằm trong tập xác định. Bước 5: Kết luận Những giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên là: \[ m < 0 \quad \text{hoặc} \quad m > \frac{9}{2} \] Do đó, các giá trị nguyên của m là: \[ m = -1, -2, -3, \ldots \quad \text{và} \quad m = 5, 6, 7, \ldots \] Vậy có vô số giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện.