giúp em vs ạ

Câu 5: Để tìm thời điểm và độ cao lớn nhất của vật, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( h(t) \): \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 18t^2 + 2t + 3) = -3t^2 + 36t + 2 \] 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ -3t^2 + 36t + 2 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 12t - \frac{2}{3} = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = -12 \), \( c = -\frac{2}{3} \): \[ t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + \frac{8}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{\frac{432 + 8}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{\frac{440}{3}}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{146.67}}{2} \] \[ t = \frac{12 \pm 12.11}{2} \] \[ t_1 = \frac{12 + 12.11}{2} = 12.055 \] \[ t_2 = \frac{12 - 12.11}{2} = -0.055 \] (loại vì thời gian không thể âm) 4. Kiểm tra tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng xung quanh \( t = 12.055 \): - \( h''(t) = \frac{d}{dt}(-3t^2 + 36t + 2) = -6t + 36 \) - \( h''(12.055) = -6 \times 12.055 + 36 = -72.33 + 36 = -36.33 < 0 \) Do đó, \( t = 12.055 \) là điểm cực đại. 5. Tính độ cao lớn nhất tại \( t = 12.055 \): \[ h(12.055) = -(12.055)^3 + 18(12.055)^2 + 2(12.055) + 3 \] \[ h(12.055) = -1749.99 + 2600.01 + 24.11 + 3 \] \[ h(12.055) = 877.13 \text{ m} \] Kết luận: Vật đạt độ cao lớn nhất sau khoảng 12.055 giây và độ cao lớn nhất là 877.13 mét. Câu 6: Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích của hộp là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước của hộp: - Cạnh của tấm nhôm ban đầu là 12 cm. - Khi cắt đi bốn hình vuông ở bốn góc, mỗi hình vuông có cạnh \( x \) cm, thì chiều dài và chiều rộng của phần còn lại của tấm nhôm sẽ là \( 12 - 2x \) cm. - Chiều cao của hộp sẽ là \( x \) cm. 2. Tính thể tích của hộp: - Thể tích \( V \) của hộp được tính bằng công thức: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = (12 - 2x) \times (12 - 2x) \times x \] - Rút gọn biểu thức: \[ V = (12 - 2x)^2 \times x \] \[ V = (144 - 48x + 4x^2) \times x \] \[ V = 144x - 48x^2 + 4x^3 \] 3. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất: - Để tìm giá trị của \( x \) làm cho thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0. - Đạo hàm của \( V \): \[ V' = 144 - 96x + 12x^2 \] - Đặt đạo hàm bằng 0: \[ 144 - 96x + 12x^2 = 0 \] - Chia cả hai vế cho 12: \[ 12 - 8x + x^2 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] \[ (x - 2)(x - 6) = 0 \] - Nghiệm của phương trình: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 6 \] 4. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \( x \) hợp lý: - Vì \( x \) là cạnh của hình vuông bị cắt đi, nên \( x \) phải nhỏ hơn nửa cạnh của tấm nhôm ban đầu (12 cm): \[ 0 < x < 6 \] - Do đó, \( x = 6 \) không thỏa mãn điều kiện này, chỉ còn lại \( x = 2 \). 5. Kết luận: - Giá trị của \( x \) để thể tích của hộp lớn nhất là \( x = 2 \) cm. Đáp số: \( x = 2 \) cm.