cau1 helpmecacae

Câu 1. 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) \( x^4 + 2024x^2 + 2023x + 2024 \) b) \( x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 \) a) Ta nhóm lại như sau: \[ x^4 + 2024x^2 + 2023x + 2024 = (x^4 + 2024x^2) + (2023x + 2024) \] \[ = x^2(x^2 + 2024) + 2023(x + 1) \] b) Ta nhóm lại như sau: \[ x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = (x^2 + 10x)(x^2 + 10x + 24) + 128 \] \[ = (x^2 + 10x)^2 + 24(x^2 + 10x) + 128 \] \[ = (x^2 + 10x + 8)(x^2 + 10x + 16) \] 2. Cho \( x, y \) là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: \[ \frac{1-2x}{1-x} + \frac{1-2y}{1-y} = 1 \] Chứng minh \( M = x^2 + y^2 - xy \) là bình phương của một số hữu tỷ. Ta có: \[ \frac{1-2x}{1-x} + \frac{1-2y}{1-y} = 1 \] \[ \frac{1-2x}{1-x} = 1 - \frac{1-2y}{1-y} \] \[ \frac{1-2x}{1-x} = \frac{(1-y) - (1-2y)}{1-y} \] \[ \frac{1-2x}{1-x} = \frac{y}{1-y} \] Từ đây ta suy ra: \[ (1-2x)(1-y) = y(1-x) \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] \[ 1 - y - 2x + 2xy = y - xy \] Do đó: \[ x + y = 1 \] Vậy: \[ M = x^2 + y^2 - xy = (x + y)^2 - 3xy = 1 - 3xy \] 3. Cho biểu thức \( A = \frac{x^3 + x^2}{x^3 - 2x^2 + x} : \left( \frac{x^2 + x}{x^2} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x^2 - x} \right) \) với \( x \neq 0; x \neq \pm 1 \) a) Rút gọn biểu thức: \[ A = \frac{x^3 + x^2}{x^3 - 2x^2 + x} : \left( \frac{x^2 + x}{x^2} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x^2 - x} \right) \] \[ = \frac{x^2(x + 1)}{x(x-1)^2} : \left( \frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x(x-1)} \right) \] \[ = \frac{x(x + 1)}{(x-1)^2} : \left( \frac{(x + 1)(x-1) + x + (2-x^2)}{x(x-1)} \right) \] \[ = \frac{x(x + 1)}{(x-1)^2} : \left( \frac{x^2 - 1 + x + 2 - x^2}{x(x-1)} \right) \] \[ = \frac{x(x + 1)}{(x-1)^2} : \left( \frac{x + 1}{x(x-1)} \right) \] \[ = \frac{x(x + 1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x(x-1)}{x + 1} \] \[ = \frac{x^2}{x-1} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) khi \( x > 1 \): \[ A = \frac{x^2}{x-1} \] \[ = x + 1 + \frac{1}{x-1} \] Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần \( x-1 = 1 \), tức là \( x = 2 \). \[ A_{min} = 2 + 1 + 1 = 4 \] Đáp số: 1. a) \( x^2(x^2 + 2024) + 2023(x + 1) \) b) \( (x^2 + 10x + 8)(x^2 + 10x + 16) \) 2. \( M = x^2 + y^2 - xy \) là bình phương của một số hữu tỷ. 3. a) \( A = \frac{x^2}{x-1} \) b) \( A_{min} = 4 \) Câu 2. 1. Giải phương trình $\frac{4}{x^2 - 4} + \frac{1}{x^2 + 5x + 6} = \frac{-5}{4}$ Điều kiện: $x \neq \pm 2$ Phân tích mẫu số: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] \[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{4(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)} + \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)} = \frac{-5}{4} \] Tổng phân thức: \[ \frac{4(x + 3) + (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)} = \frac{-5}{4} \] Rút gọn tử số: \[ \frac{4x + 12 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)} = \frac{-5}{4} \] \[ \frac{5x + 10}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)} = \frac{-5}{4} \] Nhân cả hai vế với $(x - 2)(x + 2)(x + 3)$: \[ 5x + 10 = \frac{-5}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 3) \] Nhân cả hai vế với 4: \[ 20x + 40 = -5(x - 2)(x + 2)(x + 3) \] Phân tích và giải phương trình bậc ba: \[ 20x + 40 = -5(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) \] \[ 20x + 40 = -5x^3 - 15x^2 + 20x + 60 \] \[ 0 = -5x^3 - 15x^2 + 20 \] \[ 5x^3 + 15x^2 - 20 = 0 \] \[ x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \] Phân tích đa thức: \[ (x - 1)(x + 2)^2 = 0 \] Giải phương trình: \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x + 2)^2 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Kiểm tra điều kiện: \[ x = 1 \quad \text{(thoả mãn)} \] \[ x = -2 \quad \text{(không thoả mãn)} \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \). 2. Cho \( a + b + c = 2025 \). Tính giá trị biểu thức: \[ P = \frac{a^3 + b^3 + c^3 - 3abc}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc} \] Áp dụng công thức: \[ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc) \] Thay vào biểu thức: \[ P = \frac{(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)}{a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc} \] Rút gọn: \[ P = a + b + c \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ P = 2025 \] 3. Cho hai đa thức \( P(x) = ax^4 + bx^3 + 1 \) và \( Q(x) = x^2 - 2x + 1 \). Xác định các giá trị của \( a \) và \( b \) để đa thức \( P(x) \) chia hết cho đa thức \( Q(x) \). Phân tích \( Q(x) \): \[ Q(x) = (x - 1)^2 \] Để \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \), ta cần \( P(1) = 0 \) và \( P'(1) = 0 \). Tính \( P(1) \): \[ P(1) = a(1)^4 + b(1)^3 + 1 = a + b + 1 \] \[ a + b + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b = -1 \quad \text{(1)} \] Tính đạo hàm \( P(x) \): \[ P'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 \] Tính \( P'(1) \): \[ P'(1) = 4a(1)^3 + 3b(1)^2 = 4a + 3b \] \[ 4a + 3b = 0 \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ a + b = -1 \] \[ 4a + 3b = 0 \] Nhân phương trình thứ nhất với 3: \[ 3a + 3b = -3 \] Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (4a + 3b) - (3a + 3b) = 0 - (-3) \] \[ a = 3 \] Thay \( a = 3 \) vào phương trình (1): \[ 3 + b = -1 \] \[ b = -4 \] Vậy các giá trị của \( a \) và \( b \) là: \[ a = 3, \quad b = -4 \]