Tính giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất nếu có

Bài 7. a) Ta có: \( M = x^2 - 4x + 5 \) \( M = (x^2 - 4x + 4) + 1 \) \( M = (x - 2)^2 + 1 \) Vì \((x - 2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(M \geq 1\) với mọi \(x\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(M\) là 1 khi \(x = 2\). b) Ta có: \( N = y^2 - y - 3 \) \( N = (y^2 - y + \frac{1}{4}) - \frac{13}{4} \) \( N = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{13}{4} \) Vì \((y - \frac{1}{2})^2 \geq 0\) với mọi \(y\), nên \(N \geq -\frac{13}{4}\) với mọi \(y\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(N\) là \(-\frac{13}{4}\) khi \(y = \frac{1}{2}\). c) Ta có: \( P = x^2 + y^2 - 4x + y + 7 \) \( P = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + y + \frac{1}{4}) + \frac{19}{4} \) \( P = (x - 2)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 + \frac{19}{4} \) Vì \((x - 2)^2 \geq 0\) và \((y + \frac{1}{2})^2 \geq 0\) với mọi \(x\) và \(y\), nên \(P \geq \frac{19}{4}\) với mọi \(x\) và \(y\). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{19}{4}\) khi \(x = 2\) và \(y = -\frac{1}{2}\). d) Ta có: \( A = -x^2 - 6x + 1 \) \( A = -(x^2 + 6x + 9) + 10 \) \( A = -(x + 3)^2 + 10 \) Vì \(-(x + 3)^2 \leq 0\) với mọi \(x\), nên \(A \leq 10\) với mọi \(x\). Do đó, giá trị lớn nhất của \(A\) là 10 khi \(x = -3\). e) Ta có: \( B = -x^2 + 4x + 2 \) \( B = -(x^2 - 4x + 4) + 6 \) \( B = -(x - 2)^2 + 6 \) Vì \(-(x - 2)^2 \leq 0\) với mọi \(x\), nên \(B \leq 6\) với mọi \(x\). Do đó, giá trị lớn nhất của \(B\) là 6 khi \(x = 2\). f) Ta có: \( C = x - x^2 + 2 \) \( C = -(x^2 - x + \frac{1}{4}) + \frac{9}{4} \) \( C = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4} \) Vì \(-(x - \frac{1}{2})^2 \leq 0\) với mọi \(x\), nên \(C \leq \frac{9}{4}\) với mọi \(x\). Do đó, giá trị lớn nhất của \(C\) là \(\frac{9}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\). Bài 8. a) \(x^3 + 4x\) Phân tích \(x\) ra ngoài làm nhân tử chung: \[ x^3 + 4x = x(x^2 + 4) \] b) \(x^2 + 2x - y^2 + 1\) Nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận thấy cấu trúc: \[ x^2 + 2x + 1 - y^2 = (x + 1)^2 - y^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ (x + 1)^2 - y^2 = (x + 1 - y)(x + 1 + y) \] c) \(5(x + 3y) - 15x(x + 3y)\) Nhận thấy \(x + 3y\) là nhân tử chung: \[ 5(x + 3y) - 15x(x + 3y) = (x + 3y)(5 - 15x) \] d) \(3x^2 + 9x - 30\) Nhận thấy 3 là nhân tử chung: \[ 3x^2 + 9x - 30 = 3(x^2 + 3x - 10) \] Phân tích \(x^2 + 3x - 10\) thành nhân tử: \[ x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) \] Do đó: \[ 3(x^2 + 3x - 10) = 3(x + 5)(x - 2) \] e) \(a^2 - 6a - b^2 + 9\) Nhóm các hạng tử để dễ dàng nhận thấy cấu trúc: \[ a^2 - 6a + 9 - b^2 = (a - 3)^2 - b^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[ (a - 3)^2 - b^2 = (a - 3 - b)(a - 3 + b) \] f) \(x^3 - y^3 - 3x^2 + 3x - 1\) Nhận thấy \(x^3 - y^3\) và nhóm các hạng tử còn lại: \[ x^3 - y^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x^3 - y^3) - (3x^2 - 3x + 1) \] Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Nhận thấy \(3x^2 - 3x + 1\) có thể viết lại: \[ 3x^2 - 3x + 1 = (x - 1)^3 \] Do đó: \[ x^3 - y^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x - 1)^3 \] Tóm lại, các đa thức đã được phân tích thành nhân tử như sau: a) \(x(x^2 + 4)\) b) \((x + 1 - y)(x + 1 + y)\) c) \((x + 3y)(5 - 15x)\) d) \(3(x + 5)(x - 2)\) e) \((a - 3 - b)(a - 3 + b)\) f) \((x - y)(x^2 + xy + y^2) - (x - 1)^3\) Bài 9: 1) \(4(3x - 1) - 2(5 - 3x) = -12\) Bước 1: Mở ngoặc và nhóm các hạng tử có cùng biến số. \[4 \cdot 3x - 4 \cdot 1 - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3x = -12\] \[12x - 4 - 10 + 6x = -12\] Bước 2: Kết hợp các hạng tử có cùng biến số. \[12x + 6x - 4 - 10 = -12\] \[18x - 14 = -12\] Bước 3: Chuyển các số hạng không chứa biến sang vế phải. \[18x = -12 + 14\] \[18x = 2\] Bước 4: Chia cả hai vế cho 18 để tìm giá trị của \(x\). \[x = \frac{2}{18}\] \[x = \frac{1}{9}\] Vậy \(x = \frac{1}{9}\). 2) \(x(x - 1) - 2(1 - x) = 0\) Bước 1: Mở ngoặc và nhóm các hạng tử có cùng biến số. \[x \cdot x - x \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot x = 0\] \[x^2 - x - 2 + 2x = 0\] Bước 2: Kết hợp các hạng tử có cùng biến số. \[x^2 + x - 2 = 0\] Bước 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. \[x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0\] Bước 4: Giải phương trình tích bằng cách đặt mỗi nhân tử bằng 0. \[x + 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 1 = 0\] \[x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1\] Vậy \(x = -2\) hoặc \(x = 1\).