Giải hộ mình câu này với các bạn

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = \frac{3x^2 + 7x + 7}{x^2 + 3x + 5} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( B \) có mẫu số là \( x^2 + 3x + 5 \). Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không. \( x^2 + 3x + 5 = 0 \) Ta tính delta (\( \Delta \)) của phương trình này: \( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 \) Vì \( \Delta < 0 \), phương trình \( x^2 + 3x + 5 = 0 \) vô nghiệm, tức là mẫu số \( x^2 + 3x + 5 \) luôn dương và không bằng 0. Do đó, biểu thức \( B \) luôn có nghĩa với mọi \( x \). 2. Biến đổi biểu thức \( B \): Ta sẽ biến đổi biểu thức \( B \) để dễ dàng tìm giá trị nhỏ nhất. \( B = \frac{3x^2 + 7x + 7}{x^2 + 3x + 5} \) Ta có thể viết lại \( B \) dưới dạng: \( B = \frac{3(x^2 + 3x + 5) - 2x - 8}{x^2 + 3x + 5} \) \( B = 3 - \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \) 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \): Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( B \), ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \). Ta xét biểu thức \( C = \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \). Ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \( C \) bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Ta có: \( C = \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \) Ta thấy rằng \( x^2 + 3x + 5 \) luôn dương, do đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị lớn nhất của \( C \). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho \( (2x + 8) \) và \( (x^2 + 3x + 5) \): \( (2x + 8)^2 \leq (1 + 1)(4x^2 + 16 + 16x + 16) \) \( (2x + 8)^2 \leq 2(4x^2 + 32x + 32) \) \( (2x + 8)^2 \leq 8(x^2 + 4x + 4) \) \( (2x + 8)^2 \leq 8(x + 2)^2 \) \( \frac{(2x + 8)^2}{(x + 2)^2} \leq 8 \) \( \left( \frac{2x + 8}{x + 2} \right)^2 \leq 8 \) \( \left| \frac{2x + 8}{x + 2} \right| \leq \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) Do đó: \( \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \leq 2\sqrt{2} \) Vậy giá trị lớn nhất của \( C \) là \( 2\sqrt{2} \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( B \) là: \( B_{min} = 3 - 2\sqrt{2} \) Giá trị nhỏ nhất của \( B \) đạt được khi \( \frac{2x + 8}{x^2 + 3x + 5} \) đạt giá trị lớn nhất \( 2\sqrt{2} \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 3 - 2\sqrt{2} \).