chọn đúng sai và giải thích

Câu 1: a) Với $m=0$, ta có $f(x)=\frac{-x^2+3x}{x-4}$. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình $\frac{-x^2+3x}{x-4}=0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với phương trình $-x^2 + 3x = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là $x(3 - x) = 0$. Phương trình này có hai nghiệm $x = 0$ và $x = 3$. Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Đáp án đúng. b) Để hàm số có hai điểm cực trị, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Ta có: \[ f'(x) = \frac{(-2x + 3)(x - 4) - (-x^2 + 3x + m)}{(x - 4)^2} = \frac{-2x^2 + 8x + 3x - 12 + x^2 - 3x - m}{(x - 4)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 12 - m}{(x - 4)^2}. \] Để hàm số có hai điểm cực trị, ta cần phương trình $-x^2 + 8x - 12 - m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với: \[ \Delta = 64 - 4(12 + m) > 0 \Rightarrow 64 - 48 - 4m > 0 \Rightarrow 16 - 4m > 0 \Rightarrow m < 4. \] Vậy hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m < 4$. Đáp án sai. c) Đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm trên trục tung khi $x = 0$ là điểm cực trị. Thay $x = 0$ vào đạo hàm, ta có: \[ f'(0) = \frac{-0^2 + 8 \cdot 0 - 12 - m}{(0 - 4)^2} = \frac{-12 - m}{16}. \] Để $x = 0$ là điểm cực trị, ta cần $f'(0) = 0$, tức là: \[ \frac{-12 - m}{16} = 0 \Rightarrow -12 - m = 0 \Rightarrow m = -12. \] Vậy có đúng một giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực trị nằm trên trục tung. Đáp án đúng. d) Để $|y_1 - y_2| = 4$, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho khoảng cách giữa hai giá trị cực trị của hàm số bằng 4. Ta có: \[ y_1 = f(x_1) = \frac{-x_1^2 + 3x_1 + m}{x_1 - 4}, \quad y_2 = f(x_2) = \frac{-x_2^2 + 3x_2 + m}{x_2 - 4}. \] Khi đó: \[ |y_1 - y_2| = \left| \frac{-x_1^2 + 3x_1 + m}{x_1 - 4} - \frac{-x_2^2 + 3x_2 + m}{x_2 - 4} \right|. \] Để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng tính chất của đạo hàm và khoảng cách giữa hai giá trị cực trị. Tuy nhiên, việc này khá phức tạp và không dễ dàng để chứng minh trực tiếp. Do đó, ta cần kiểm tra lại các phương pháp khác hoặc sử dụng các công cụ hỗ trợ để xác định giá trị của $m$. Đáp án chưa chắc chắn. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Chưa chắc chắn.