GIÚP EM VỚI Ạ Câu 6. Một công ty muốn xây dựng hệ thống dây cáp từ trạm A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn,đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A,đến C là 9 km. Giá để lắp đặt mỗi km hệ thống dây trên bờ là 50 triệu đồng và dưới nước là 130 triệu đồng.,Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp đặt hệ thống dây theo đường gấp khúc ADB mà số tiền chi,phí thấp nhất. Khi đó chi phí lắp đặt thấp nhất là bao nhiêu triệu đồng 32,5,chi phí $130-\sqrt{36+x^2}+50(9-x)$,

Question

GIÚP EM VỚI Ạ Câu 6. Một công ty muốn xây dựng hệ thống dây cáp từ trạm A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn,đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A,đến C là 9 km. Giá để lắp đặt mỗi km hệ thống dây trên bờ là 50 triệu đồng và dưới nước là 130 triệu đồng.,Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp đặt hệ thống dây theo đường gấp khúc ADB mà số tiền chi,phí thấp nhất. Khi đó chi phí lắp đặt thấp nhất là bao nhiêu triệu đồng 32,5,chi phí $130-\sqrt{36+x^2}+50(9-x)$,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1162c280bba444418f0d89dc8d330da7.jpg />

Accepted Answer

Câu 6.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa chi phí lắp đặt hệ thống dây cáp theo đường gấp khúc ADB. Chúng ta sẽ xác định vị trí D trên đoạn AC sao cho tổng chi phí lắp đặt là thấp nhất.

Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan
- Khoảng cách từ A đến C là 9 km.
- Khoảng cách từ C đến B là 6 km.
- Chi phí lắp đặt mỗi km trên bờ là 50 triệu đồng.
- Chi phí lắp đặt mỗi km dưới nước là 130 triệu đồng.

Bước 2: Xác định vị trí D trên đoạn AC
Gọi khoảng cách từ A đến D là x (km). Do đó, khoảng cách từ D đến C là 9 - x (km).

Bước 3: Tính khoảng cách từ D đến B
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông DCB:
$$ DB = \sqrt{(9 - x)^2 + 6^2} = \sqrt{(9 - x)^2 + 36} $$

Bước 4: Xác định tổng chi phí lắp đặt
Chi phí lắp đặt trên bờ từ A đến D là:
$$ 50x \text{ (triệu đồng)} $$

Chi phí lắp đặt dưới nước từ D đến B là:
$$ 130 \times \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \text{ (triệu đồng)} $$

Tổng chi phí lắp đặt là:
$$ f(x) = 50x + 130 \sqrt{(9 - x)^2 + 36} $$

Bước 5: Tìm giá trị x để tổng chi phí lắp đặt là thấp nhất
Để tìm giá trị x tối ưu, chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số f(x) và tìm điểm cực tiểu.

Tính đạo hàm của f(x):
$$ f'(x) = 50 + 130 \cdot \frac{-2(9 - x)}{2\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} $$
$$ f'(x) = 50 - \frac{130(9 - x)}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
$$ 50 - \frac{130(9 - x)}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} = 0 $$
$$ 50 = \frac{130(9 - x)}{\sqrt{(9 - x)^2 + 36}} $$
$$ 50 \sqrt{(9 - x)^2 + 36} = 130(9 - x) $$
$$ \sqrt{(9 - x)^2 + 36} = \frac{13}{5}(9 - x) $$

Bình phương cả hai vế:
$$ (9 - x)^2 + 36 = \left(\frac{13}{5}(9 - x)\right)^2 $$
$$ (9 - x)^2 + 36 = \frac{169}{25}(9 - x)^2 $$
$$ 25(9 - x)^2 + 900 = 169(9 - x)^2 $$
$$ 900 = 144(9 - x)^2 $$
$$ (9 - x)^2 = \frac{900}{144} $$
$$ (9 - x)^2 = \frac{25}{4} $$
$$ 9 - x = \frac{5}{2} \text{ hoặc } 9 - x = -\frac{5}{2} $$
$$ x = 9 - \frac{5}{2} = \frac{13}{2} \text{ hoặc } x = 9 + \frac{5}{2} = \frac{23}{2} $$

Do x phải nằm trong đoạn [0, 9], ta chọn:
$$ x = \frac{13}{2} = 6.5 $$

Bước 6: Tính tổng chi phí lắp đặt khi x = 6.5
Khoảng cách từ D đến B:
$$ DB = \sqrt{(9 - 6.5)^2 + 36} = \sqrt{2.5^2 + 36} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5 \text{ (km)} $$

Tổng chi phí lắp đặt:
$$ f(6.5) = 50 \times 6.5 + 130 \times 6.5 = 325 + 845 = 1170 \text{ (triệu đồng)} $$

Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất là 1170 triệu đồng.