giúp mình nhé

Câu 16: Chúng ta sẽ giải quyết từng phát biểu một cách chi tiết: a) \(\overrightarrow{MP}=(-7;-3;4)\). Để tìm tọa độ của vector \(\overrightarrow{MP}\), ta sử dụng công thức: \[ \overrightarrow{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M, z_P - z_M) \] Với \(M(-4;3;3)\) và \(P(3;6;-1)\), ta có: \[ \overrightarrow{MP} = (3 - (-4), 6 - 3, -1 - 3) = (7, 3, -4) \] Do đó, phát biểu a) là sai. b) Ba điểm M, N, P không thẳng hàng. Để kiểm tra ba điểm có thẳng hàng hay không, ta kiểm tra xem vector \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MP}\) có cùng phương hay không. Tính các vector: \[ \overrightarrow{MN} = (4 - (-4), -4 - 3, 2 - 3) = (8, -7, -1) \] \[ \overrightarrow{MP} = (3 - (-4), 6 - 3, -1 - 3) = (7, 3, -4) \] Hai vector \(\overrightarrow{MN} = (8, -7, -1)\) và \(\overrightarrow{MP} = (7, 3, -4)\) không tỉ lệ với nhau vì: \[ \frac{8}{7} \neq \frac{-7}{3} \neq \frac{-1}{-4} \] Do đó, ba điểm M, N, P không thẳng hàng. Phát biểu b) là đúng. c) Nếu MNPQ là hình bình hành thì \(Q(-5;13;0)\). Trong hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NQ} \] Từ \(\overrightarrow{MP} = (7, 3, -4)\), ta cần tìm \(Q(x_Q, y_Q, z_Q)\) sao cho: \[ \overrightarrow{NQ} = (x_Q - 4, y_Q + 4, z_Q - 2) = (7, 3, -4) \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_Q - 4 = 7 \\ y_Q + 4 = 3 \\ z_Q - 2 = -4 \end{cases} \] Ta có: \[ \begin{cases} x_Q = 11 \\ y_Q = -1 \\ z_Q = -2 \end{cases} \] Vậy \(Q(11, -1, -2)\), không phải \((-5;13;0)\). Phát biểu c) là sai. d) Diện tích tam giác OMN bằng 15. Diện tích tam giác OMN được tính bằng: \[ S = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{ON}\| \] Với \(\overrightarrow{OM} = (-4, 3, 3)\) và \(\overrightarrow{ON} = (4, -4, 2)\), ta tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{ON} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 3 & 3 \\ 4 & -4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 2 - 3 \cdot (-4)) - \mathbf{j}(-4 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(-4 \cdot (-4) - 3 \cdot 4) \] \[ = \mathbf{i}(6 + 12) - \mathbf{j}(-8 - 12) + \mathbf{k}(16 - 12) \] \[ = \mathbf{i}(18) + \mathbf{j}(20) + \mathbf{k}(4) \] \[ = (18, 20, 4) \] Độ dài của vector này là: \[ \| (18, 20, 4) \| = \sqrt{18^2 + 20^2 + 4^2} = \sqrt{324 + 400 + 16} = \sqrt{740} \] Diện tích tam giác là: \[ S = \frac{1}{2} \sqrt{740} \approx 13.6 \] Do đó, phát biểu d) là sai. Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \(m+n+p\) trong phương trình vectơ \(\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}+p\overrightarrow{AD}\). Bước 1: Tìm \(\overrightarrow{MN}\) - M là trung điểm của \(AB\), do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] - N là điểm trên \(CD\) sao cho \(DN = 2CN\), do đó: \[ \overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} \] \[ \overrightarrow{DN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CD} \] - Suy ra: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \left(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM}\right) + \left(\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{ND}\right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right) + \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CD}\right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} \] Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{CD}\) qua \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AD}\) - Giả sử: \[ \overrightarrow{CD} = x\overrightarrow{AC} + y\overrightarrow{AD} \] - Thay vào phương trình \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC} + y\overrightarrow{AD} \] Bước 3: So sánh hệ số - Từ \(\overrightarrow{MN} = m\overrightarrow{AB} + n\overrightarrow{AC} + p\overrightarrow{AD}\), ta có: \[ m = \frac{1}{2}, \quad n = x, \quad p = y \] - Tổng \(m+n+p\): \[ m+n+p = \frac{1}{2} + x + y \] Bước 4: Tính giá trị \(x\) và \(y\) - Do không có thông tin thêm về \(\overrightarrow{CD}\), ta giả sử \(x = 0\) và \(y = 1\) (vì \(\overrightarrow{CD}\) có thể được biểu diễn chủ yếu qua \(\overrightarrow{AD}\)). - Khi đó: \[ m+n+p = \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{3}{2} \] Kết luận: Giá trị của biểu thức \(m+n+p\) là \(1.5\). Câu 18: Để tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2 \cdot \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}} \] Với các giá trị đã cho: - \( |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2} \) nên \( |\overrightarrow{a}|^2 = 2 \) - \( |\overrightarrow{b}| = 3 \) nên \( |\overrightarrow{b}|^2 = 9 \) - \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{5}{2} \) Thay vào công thức: \[ |\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = \sqrt{2 + 9 + 2 \cdot \frac{5}{2}} \] \[ = \sqrt{2 + 9 + 5} \] \[ = \sqrt{16} \] \[ = 4 \] Vậy độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) là 4. Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{CM}\) và \(\vec{DN}\). 1. Xác định tọa độ các điểm: Giả sử \(A(0, 0, 0)\), \(B(6, 0, 0)\), \(C(0, 6, 0)\), \(D(0, 0, 6)\). 2. Tìm tọa độ điểm \(M\): \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên tọa độ của \(M\) là: \[ M\left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (3, 0, 0) \] 3. Tìm tọa độ điểm \(N\): \(N\) thuộc cạnh \(AC\) và \(AN = 2NC\), nên \(N\) chia \(AC\) theo tỉ lệ \(2:1\). Tọa độ của \(N\) là: \[ N\left(\frac{2 \times 0 + 1 \times 0}{2+1}, \frac{2 \times 6 + 1 \times 0}{2+1}, \frac{2 \times 0 + 1 \times 0}{2+1}\right) = (0, 4, 0) \] 4. Tính các vectơ \(\vec{CM}\) và \(\vec{DN}\): \[ \vec{CM} = (3 - 0, 0 - 6, 0 - 0) = (3, -6, 0) \] \[ \vec{DN} = (0 - 0, 4 - 0, 0 - 6) = (0, 4, -6) \] 5. Tính tích vô hướng \(\vec{CM} \cdot \vec{DN}\): \[ \vec{CM} \cdot \vec{DN} = 3 \times 0 + (-6) \times 4 + 0 \times (-6) = 0 - 24 + 0 = -24 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{CM}\) và \(\vec{DN}\) là \(-24\). Câu 20: Để tính độ dài đoạn \( AH \), ta cần tìm tọa độ điểm \( H \) là chân đường cao kẻ từ \( A \) xuống mặt phẳng \( (BC) \). Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BC) Vectơ chỉ phương của \( BC \) là: \[ \overrightarrow{BC} = (2 - 1, 3 - 2, 5 - 4) = (1, 1, 1) \] Chọn một vectơ chỉ phương khác của mặt phẳng \( (BC) \), ví dụ: \[ \overrightarrow{BA} = (7 - 1, 3 - 2, 3 - 4) = (6, 1, -1) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (BC) \) là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BA} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 6 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 6) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 6) \] \[ = \mathbf{i}(-1 - 1) - \mathbf{j}(-1 - 6) + \mathbf{k}(1 - 6) = (-2, 7, -5) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (BC) Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ -2(x - 1) + 7(y - 2) - 5(z - 4) = 0 \] \[ -2x + 7y - 5z + 2 - 14 + 20 = 0 \] \[ -2x + 7y - 5z + 8 = 0 \] Bước 3: Tìm tọa độ điểm H Điểm \( H \) là hình chiếu của \( A(7, 3, 3) \) lên mặt phẳng \( (BC) \). Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng: \[ d = \frac{|-2 \cdot 7 + 7 \cdot 3 - 5 \cdot 3 + 8|}{\sqrt{(-2)^2 + 7^2 + (-5)^2}} \] \[ = \frac{|-14 + 21 - 15 + 8|}{\sqrt{4 + 49 + 25}} \] \[ = \frac{|0|}{\sqrt{78}} = 0 \] Vì khoảng cách là 0, điều này cho thấy \( A \) nằm trên mặt phẳng \( (BC) \), do đó \( H \) trùng với \( A \). Kết luận: Độ dài đoạn \( AH = 0 \). Câu 21: Để tìm điểm \( N(x; y; 0) \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \) sao cho \( N \) cách đều ba điểm \( A(3;3;3) \), \( B(1;1;2) \), và \( C(5;3;1) \), ta cần thiết lập các phương trình khoảng cách. 1. Khoảng cách từ \( N \) đến \( A \): \[ NA = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 3)^2} \] 2. Khoảng cách từ \( N \) đến \( B \): \[ NB = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (0 - 2)^2} \] 3. Khoảng cách từ \( N \) đến \( C \): \[ NC = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2} \] Vì \( N \) cách đều ba điểm \( A \), \( B \), \( C \), ta có: \[ NA = NB = NC \] Thiết lập phương trình: - Từ \( NA = NB \): \[ \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + 9} = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 4} \] Bình phương hai vế: \[ (x - 3)^2 + (y - 3)^2 + 9 = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 4 \] Rút gọn: \[ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 + 9 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + 4 \] \[ -6x - 6y + 27 = -2x - 2y + 6 \] \[ -4x - 4y = -21 \] \[ x + y = \frac{21}{4} \] - Từ \( NB = NC \): \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 4} = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 3)^2 + 1} \] Bình phương hai vế: \[ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 4 = (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + 1 \] Rút gọn: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 6y + 9 + 1 \] \[ -2x - 2y + 6 = -10x - 6y + 35 \] \[ 8x + 4y = 29 \] \[ 2x + y = \frac{29}{4} \] Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = \frac{21}{4} \\ 2x + y = \frac{29}{4} \end{cases} \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ 2x + y - (x + y) = \frac{29}{4} - \frac{21}{4} \] \[ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( x + y = \frac{21}{4} \): \[ 2 + y = \frac{21}{4} \] \[ y = \frac{21}{4} - \frac{8}{4} = \frac{13}{4} \] Vậy, giá trị của \( x + y = 2 + \frac{13}{4} = \frac{21}{4} = 5.25 \). Kết quả là \( 5.25 \). Câu 22: Để tính độ lớn của hợp lực của ba lực, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính hợp lực của hai lực đầu tiên: Hai lực có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N, hợp với nhau một góc 100°. Ta sử dụng công thức tính độ lớn của hợp lực của hai lực: \[ R_1 = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\theta} \] Trong đó: - \( F_1 = 25 \) N - \( F_2 = 12 \) N - \( \theta = 100^\circ \) Thay vào công thức: \[ R_1 = \sqrt{25^2 + 12^2 + 2 \times 25 \times 12 \times \cos(100^\circ)} \] Tính giá trị: \[ R_1 = \sqrt{625 + 144 + 2 \times 25 \times 12 \times (-0.1736)} \] \[ R_1 = \sqrt{769 - 104.16} = \sqrt{664.84} \approx 25.78 \, \text{N} \] 2. Tính hợp lực của ba lực: Lực thứ ba có độ lớn 4 N và vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đầu tiên. Do đó, ta sử dụng định lý Pythagore trong không gian ba chiều: \[ R = \sqrt{R_1^2 + F_3^2} \] Trong đó \( F_3 = 4 \) N. Thay vào công thức: \[ R = \sqrt{25.78^2 + 4^2} \] \[ R = \sqrt{664.84 + 16} = \sqrt{680.84} \approx 26.08 \, \text{N} \] 3. Kết luận: Độ lớn của hợp lực của ba lực là khoảng 26 N (làm tròn đến hàng đơn vị). Vậy, kết quả là 26 N.