giải chi tiết các câu này giúp mình nhé

Câu 4: Để xác định mệnh đề sai, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên đồ thị đã cho: A. Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\). - Quan sát đồ thị, tại \(x=0\), hàm số có giá trị \(y=2\) và đây là điểm cao nhất trong vùng lân cận. Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x=0\). Mệnh đề A đúng. B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2. - Quan sát đồ thị, tại điểm thấp nhất, giá trị của hàm số là \(-2\). Do đó, mệnh đề B đúng. C. Hàm số đồng biến trên \((-∞;2)\). - Quan sát đồ thị, từ \(-∞\) đến \(x=0\), hàm số đồng biến. Tuy nhiên, từ \(x=0\) đến \(x=2\), hàm số nghịch biến. Do đó, mệnh đề C sai. D. Hàm số nghịch biến trên \((0;2)\). - Quan sát đồ thị, từ \(x=0\) đến \(x=2\), hàm số giảm dần, tức là nghịch biến. Do đó, mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề C. Câu 5: Để xác định điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \) dựa trên đồ thị, ta cần tìm điểm mà đồ thị có giá trị nhỏ nhất trong vùng lân cận. Quan sát đồ thị: 1. Đồ thị có dạng parabol úp, với đỉnh nằm trên trục tung. 2. Đỉnh của parabol là điểm thấp nhất trên đồ thị, tức là điểm cực tiểu. Từ hình vẽ, ta thấy đỉnh của parabol nằm tại gốc tọa độ \( O \), tức là \( x = 0 \). Vậy, hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại điểm \( x = 0 \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~x=0 \). Câu 6: Để xác định mệnh đề đúng, ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số dựa vào dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Mệnh đề A: Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞; 3)\). - Xét khoảng \((-∞; -2)\): \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Xét khoảng \((-2; 2)\): \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Do đó, hàm số không đồng biến trên khoảng \((-∞; 3)\). 2. Mệnh đề B: Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2; +∞)\). - Xét khoảng \((-2; 2)\): \( f'(x) < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Xét khoảng \((2; +∞)\): \( f'(x) > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Do đó, hàm số không nghịch biến trên khoảng \((-2; +∞)\). 3. Mệnh đề C: Hàm số đạt cực đại tại \( x = 3 \). - Tại \( x = -2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, hàm số đạt cực đại tại \( x = -2 \), không phải tại \( x = 3 \). 4. Mệnh đề D: Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). Vậy, mệnh đề đúng là D. Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). Câu 7: Để xác định khẳng định sai, ta phân tích bảng biến thiên của hàm số: 1. Khẳng định A: Hàm số có hai điểm cực trị. - Xét bảng biến thiên, ta thấy: - Tại \(x = -2\), \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số có cực đại tại \(x = -2\). - Tại \(x = 2\), \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số có cực tiểu tại \(x = 2\). - Vậy khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là \((-2; -4)\). - Từ bảng biến thiên, tại \(x = -2\), \(f(x) = -4\). - Vậy khẳng định B là đúng. 3. Khẳng định C: Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2; 2)\). - Trên khoảng \((-2; 0)\), \(f'(x) < 0\), hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \((0; 2)\), \(f'(x) < 0\), hàm số cũng nghịch biến. - Vậy khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: Hàm số đồng biến trên khoảng \((3; +\infty)\). - Từ bảng biến thiên, trên khoảng \((2; +\infty)\), \(f'(x) > 0\), hàm số đồng biến. - Vậy khẳng định D là đúng. Tất cả các khẳng định A, B, C, D đều đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một khẳng định sai, có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại thông tin. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = -x^3 + 3x + 2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x + 2) = -3x^2 + 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm \( y' \): - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 1 \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại và \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị \( x_1 + 2x_2 \): \[ x_1 = -1 \] \[ x_2 = 1 \] \[ x_1 + 2x_2 = -1 + 2(1) = -1 + 2 = 1 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{1} \] Câu 9: Để tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0. \] Rút gọn phương trình: \[ 3x(x - 2) = 0. \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2. \] Bước 2: Xác định loại cực trị Để xác định loại cực trị tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \), ta xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm. - Với \( x < 0 \), chọn \( x = -1 \), ta có \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \). - Với \( 0 < x < 2 \), chọn \( x = 1 \), ta có \( y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \). - Với \( x > 2 \), chọn \( x = 3 \), ta có \( y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \). Từ đó, ta có: - Tại \( x = 0 \), \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \), \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị Tọa độ của các điểm cực trị là: - Điểm cực đại: \( (0, y(0)) = (0, 4) \). - Điểm cực tiểu: \( (2, y(2)) = (2, 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4) = (2, 8 - 12 + 4) = (2, 0) \). Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: \[ \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \] Vậy, khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 2\sqrt{5} \). Đáp án đúng là A. \( 2\sqrt{5} \).